Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (то есть на численные за данный интервал проценты) не выплачивается, то он присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Обозначения:

i_c – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

k_н.с – коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (11.12), составит:

S₁ = P (l+ i_c.).

(11.30)

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁:

S₂ = S₁(l+ i_c ) = P (l+ i_c)²

(11.31)

и так далее. Следовательно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит:

S = P (1 + i_c) ⁿ.

(11.32)

Множитель наращения k_н.с соответственно будет равен:

k_н.с = (1 + i_с)ⁿ.

(11.33)

При начислении простых процентов он составил бы по формулам (11.10) и (11.12):

k_н_._с = (1 + n).

(11.34)

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

k_н_._с = (1+ i_c) ^na (1 + n_b i_c ),

(11.35)

где п = п_а + п_b; n_а — целое число лет; п_b – оставшаяся дробная часть года.

На практике предпочитают пользоваться формулой (11.32) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение можно получить при n_b = 1/2, в этом случае удобно применить формулу (11.32). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат. Следовательно, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе.

Если предположить, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления: n₁, п₂, ..., п_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂, ..., i_N − годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (11.12), составит:

S₁= P (l+ n₁ i₁).

(11.36)

В конце второго интервала:

S₂= P (l+ n₁ i₁) ×(l+ n₂ i₂).

(11.37)

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

Сложные ставки ссудных процентов - student2.ru

(11.38)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (11.38) принимает вид:

S_N= P (l+ n i ) ⁿ.

(11.39)

В случае, если начисление сложных процентов осуществляется один раз в году, оговариваетсяноминальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (11.32), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S_mn = P (l+ j/m) ^mn,

(11.40)

где mn − общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп – целое число интервалов начисления; l – часть интервала начисления), то выражение (11.40) принимает вид

S = P ( l+ j/m) ^mn(l + l j/m).

(11.41)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (11.32), а для оставшейся части – формула простых процентов (11.12).

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными [74, 83].

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (продолжительность интервала начисления стремится к нулю, a m – к бесконечности) [83].

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

(11.42)

Для расчетов наращенной суммы можно использовать известную формулу:

S= Ре ^jn,

(11.43)

где

k_н.с = е ^jn.

(11.44)

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения е^jn и других требуемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (при одинаковых n, j, Р).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие в зависимости от того, что известно, а что требуется найти. Так, из формулы (11.32) получаем:

(11.45)

В случае простых процентов определение современной величины суммы S называется дисконтированием.

Коэффициент дисконтирования а является величиной, обратной коэффициенту наращения, то есть k _н.сα = 1.

Формула (11.45), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок показывают, чтотекущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности [8, 74, 83].

Также из формулы (11.32) получим:

(11.46)

Из формулы (10.35):

(11.47)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (11.32), получаем:

(11.48)

Подобным же образом из формулы (10.35) получаем формулу:

(11.49)

Сложные учетные ставки

Обозначения в антисипативном способе начисления сложных процентов:

d_c (%) – сложная годовая учетная ставка;

d_c – относительная величина сложной учетной ставки;

k _н.у – коэффициент наращения для случая учетной ставки;

f – номинальная годовая учетная ставка.

По прошествии первого года наращенная сумма S₁в соответствии с формулой (11.27) составит [74, 83]:

(11.50)

Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S₁:

(11.51)

По прошествии п лет наращенная сумма составит:

(11.52)

Отсюда для множителя наращения получим:

(11.53)

Сравнивая формулы (11.32) и (11.52), видно, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.

Формула (11.52) также показывает, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d(%) приближается к 100% [74, 83].

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий – меньше года – интервал, начисление т раз в году). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, формула следующая:

(11.54)

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется следующим образом:

(11.55)

где п₁, n₂, ..., п_N – продолжительность интервалов начисления в годах; d₁, d₂, ..., d_N – учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой вид:

(11.56)

или

(11.57)

При этом тп – целое число интервалов начисления за весь период начисления, l – часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов S рассчитывается формуле:

(11.58)

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы:

P = S (1 – d_c ) ⁿ.

(110.59)

Основные понятия концепции оценки денег во времени

Процент – сумма дохода от предоставления капитала в долг, или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (дипозитивный процент, кредитный процент, процент по облигациям и векселям) [8, 74, 83].

Простой процент– сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются [8, 74, 83].

Сложный процент – сумма дохода, вычисляемого в каждом интервале, который не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама приносит доход [8, 74, 83].

Процентная ставка – удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивается сумма процента в расчете на единицу капитала [8, 74, 83].

Будущая стоимость денег – сумма инвестируемых в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени, с учетом определенной процентной ставки [8, 74, 83].

Настоящая стоимость денег – сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной процентной ставки к настоящему периоду времени [8, 74, 83].

Наращивание стоимости (кампаундинг) – процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме, начисленной суммы процентов [8, 74, 83].

Дисконтирование стоимости – процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости, путем изъятия из них будущей суммы, соответствующей суммы процентов [8, 74, 83].

Период начисления – общий период времени, в течении которого осуществляется процесс наращивания или дисконтирования стоимости денежных средств [8, 74, 83].

Интервал начисления – обусловленный конкретный временной срок в пределах общего периода начисления, в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по установленной его ставке [8, 74, 83].

Предварительный метод начисления процента (метод прекумерандо)– способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала [8, 74, 83].

Последующий метод начисления процента (метод посткумерандо) – способ расчета платежей, при котором начисления процента осуществляется в конце каждого интервала [8, 74, 83].

Аннуитет – длительный инвестиционный поток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процентных ставок и размером отдельного платежа на протяжении всего периода времени [8, 74, 83].

Концепция стоимости денег во времени – стоимость денег меняется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента [74, 83].

Ставка процента, используемая при оценке стоимости денег во времени классифицируется по следующим признакам [8, 41, 45, 46, 67 – 69, 74, 79, 80]:

1. Ставка наращивания и ставка дисконтирования, в зависимости от характера и использования в процессе оценки.

Ставка наращивания – ставка процента, используемая в процессе наращивания стоимости денежных средств, определяет будущую стоимость денежных средств [74, 83].

Ставка дисконтирования – ставка процента, используемая в процессе дисконтирования стоимости денежных средств и определяющая их текущую стоимость [8, 74, 83].

2. По стабильности уровня процентной ставки в разрезе отдельных интервалов, в рамках общего периода начисления:

· фиксированная – характеризуется неизменным её уровнем в рамках всего периода начисления;

· плавающая, характеризуется постоянно изменяющемся её уровнем, в соответствии с договоренностью сторон, в разрезе отдельных интервалов в рамках общего периода начисления.

Пересмотр ставки может быть связан с изменением нормы прибыли на финансовом рынке, изменением темпа инфляции и другими формами.

3. По обеспечению начисления определенной годовой суммарной процентной ставки может быть:

· периодической – при обеспечении начисления определенной годовой суммы процента, может варьироваться как по уровню, так и по продолжительности интервалов в рамках годового периода начисления;

· эффективный – (ставка сравнения), характеризует среднегодовой её уровень, и определяется путем отношения суммы процента, начисленных по периодическим ставкам к сумме вложенного капитала.

11.3.3. Цена авансированного капитала
и определяющие её факторы

Цена капитала – затраты, которые несет хозяйствующий субъект, в связи с использованием заемного капитала, выраженные в проценте к объему привлекаемого капитала [45, 46, 67, 79, 80, 83].

Определение цены капитала лежит в основе:

1) выбора источника и методов финансирования инвестиционных проектов;

2) определения оптимальной структуры капитала;

3) цена капитала принимается в качества ставки дисконтирования при оценке эффективности инвестиционного проекта.

Оценку стоимости капитала предваряет определение цены каждого из его компонентов [45, 46, 67, 79, 80, 83]:

· собственного капитала;

· привлеченного капитала;

· заемного капитала.

Цена капитала может быть явной и неявной.

Явная цена – фактические затраты в форме дивидендов, процентов, которые несет хозяйствующий субъект, в связи с использованием денежных средств.

Неявные затраты – упущенные возможности вследствие вложения средств в данный проект, а не их использование в альтернативных вариантах вложения.

Сегодня используются следующие виды цен капитала:

1. Определение цены собственного капитала (накопления прибыли и средств амортизационного фонда) [8, 45, 46, 67, 74].

Повышение цен собственного капитала осуществляется двумя путями:

· бесплатный источник не требует определения цены капитала;

· цена собственного капитала должна определяться и связана она с альтернативными затратами.

Существует два подхода к определению цены собственного капитала [8, 45, 46, 67]:

а) на основе цены формирующего собственного капитала:

	(11.60)
,	(11.61)

где Сложные ставки ссудных процентов - student2.ru – среднегодовая чистая прибыть распределенная между собственниками предприятия; – среднегодовая стоимость собственного капитала; ТР – темп роста выплат чистой прибыли на рубль собственного капитала;

б) предполагает оценку доходности всех альтернативных (еще нет собственного капитала) вариантов вложения капитала на рынке долгосрочных кредитов. При этом в качестве цены собственного капитала принимается доходность наилучшей из рассмотренных альтернатив.

2. Определение цены дополнительно привлекаемого капитала:

а) за счет эмиссии привилегированных акций (ПА).

В основе такой оценки лежит определение финансового размера дивиденда по привилегированным акциям и величины эмиссионных затрат.

(11.62)

где Д – дивиденды по акциям; К - капитал, полученный за счет дополнительной эмиссии ПА, определяется как процент к объему капитала; ЭЗ – эмиссионные затраты, выраженные в десятичной дроби;

б) за счет эмиссии обыкновенных акций (ОА).

В основе определения лежит размер дивиденда по одной обыкновенной акции, ранее впущенной компанией и темпа роста дивидендовых выплат по дополнительно выпускаемым акциям:

(11.63)

где Д₁ – размер дивидендов на 1 акцию формирующегося капитала; К – капитал, полученный за счет дополнительной эмиссии ОА; ЭЗ – эмиссионные затраты, выраженные в долях единиц; ТР – темп роста дивидендовых выплат; N – количество дополнительно выпущенных ОА.

Цена этого источника, как правило, самая высокая, поскольку финансовые издержки не имеют налогового щита, и в случае банкротства предприятия этот капитал защищен в наименьшей степени.

3. Определение цены отдельных элементов заемного капитала:

а) цена банковского кредита:

(11.64)

где (1-Ст.НПр) – ставка налога на прибыль, налоговый щит, налоговый корректор; ЗПК – затраты по привлечению кредита в % к общему объему полученных кредитных ресурсов;

б) стоимость финансового лизинга:

(11.65)

где СЛП – ставка лизинговой прибыли; (1-ЗП) – затраты по привлечению, в долях единиц;

в) стоимость капитала привлекаемого за счет эмиссии облигаций – определяются на основе ставки купонного процента, либо на основе среднегодовой суммы дисконта в зависимости от условий выпуска и размещения:

	(11.66)

	(11.67)

где ЗЭ_обл – затраты по эмиссии облигаций; РЦ_обл – рыночная цена облигаций.

Если сформированный капитал в целях финансирования инвестиций имеет сложную структуру, то средневзвешенная его цена определяется по формуле (11.68), где в качестве весов выступает доля каждого источника в общем, объеме инвестиционных ресурсов:

(11.68)

где C_i – цена i-го источника; d_i – доля i-го источника в общем объеме капитала.

Средневзвешенная цена капитала выступает нижней границей доходности инвестиционного проекта. Если она превышает эту доходность, то реализация инвестиционного проекта при выбранной схеме финансирования окажется невозможной, поскольку результаты проекта не смогут покрывать его затраты [8, 74, 80].

11.4. Обоснование экономической эффективности
проекта

В процессе инновационной деятельности каждая компания сталкивается с ситуацией выбора ряда проектов с целью последующей их реализации. В этой связи необходимо провести экономическое обоснование эффективности реализации каждого из определенной выборки проектов.

Эффективность инновационного проекта может быть:

· техническая,

· технологическая,

· экологическая,

· социальная,

· организационная.

Эффективность инвестиционного проекта – категория, отражающая соответствие проекта целям и интересам его участников.

Существует два вида эффективности [8, 45, 46, 67, 79]:

1. Эффективность проекта в целом, оценивается с целью определения потенциальной привлекательности проекта для возможных инвесторов и поиска источников финансирования. Включает в себя расчет общественной и коммерческой эффективности.

Показатели общественной эффективности отражают социально-экономические последствия осуществления проекта для общества в целом, в том числе экологическую, социальную и прочие внеэкономические эффекты. Если количественная оценка внеэкономических эффектов невозможна, проводят их качественный анализ.

Показатели коммерческой эффективности отражают финансовые последствия осуществления проекта для участников, реализующих проект, в предположении, что они осуществляют проект исключительно за счет собственных средств и пользуются всеми его результатами.

2. Эффективность участия в проекте определяется с целью проверки реализуемости проекта и заинтересованности в нем всех его участников при выбранной схеме финансирования.

Рассчитывают эффективность участия в проекте:

· предприятий-участников, реализующих проект;

· эффективность инвестирования в акции данного предприятия;

· эффективность участия в проекте структур более высокого уровня, по отношению к предприятию-инвестору, в том числе региональную и отраслевую эффективность;

· эффективность участия в проекте бюджетных средств с позиций доходов и расходов бюджета всех уровней.

Оценку эффективности инвестиционного проекта предваряет определение масштабности проекта, относится он к категории локальных или глобальных проектов [8, 45, 46, 67, 80].

Оценка эффективности инвестиционного проекта проводится в два этапа. На первом этапе определяется эффективность проекта в целом. При этом для локальных проектов (без трёх сторон) рассчитывается только коммерческая эффективность, для глобальных проектов, в первую очередь, рассчитывается общественная эффективность. При неудовлетворительном её значении проект не рекомендуется к реализации и не может рассчитывать на государственную поддержку. При достаточной общественной эффективности рассчитывается коммерческая эффективность, если при этом она оказывается недостаточной, рассматривается возможность государственной поддержки проекта, с целью доведения коммерческой составляющей до приемлемого уровня.

В случае, если заранее определен состав инвесторов, определена структура капитала и виды источников финансирования, расчет эффективности проекта в целом не производят.

На втором этапе разрабатывается схема финансирования инвестиционного проекта, определяется состав инвесторов, проводится расчет эффективности участия в проекте каждого из них. При этом для локальных проектов определяются эффективность участия в проекте предприятий – участников, вложения в акции и бюджетная эффективность, при наличии соответствующей финансовой поддержки. Для глобальных проектов, в первую очередь, определяется региональная и отраслевая их эффективность.

Принципы, лежащие в основе оценки эффективности инвестиционных проектов (ИП) [45, 46, 67–69, 79, 80, 83]:

1) ИП рассматривается на протяжении всего жизненного цикла, т.е. с момента осуществления прединвестиционных исследований до окончания проекта;

2) моделируются денежные потоки, связанные с осуществлением ИП, т.е. определяются денежные выплаты и поступления на каждом шаге расчетного периода;

3) учёт факторов времени. В силу разновременности инвестиционных затрат и возврата денежных потоков, они приводятся к одному базовому моменту времени – дисконтируются;

4) учет только предстоящих затрат и результатов, если при осуществлении проекта используются ранее созданные активы, они отражаются не по стоимости затрат на их создание, а альтернативной стоимости, характеризующей размер упущенной выгоды от альтернативного их использования. При этом если объект не позволяет получать доходы от альтернативного использования, то его стоимость в составе затрат проекта не отражается и при оценке эффективности не учитывается;

5) учитываются все более значимые последствия осуществления проекта, в том числе, внеэкономического характера;

6) учитываются все возможные участники ИП и возможные несоответствия их интересов;

7) учитывается потребность в оборотном капитале, влияющая на параметры эффективности ИП;

8) учитывается влияние инфляции на осуществление ИП;

9) учитывается влияние факторов неопределенности риска на осуществление проекта;

10) обеспечивается условие сопоставимости при сравнительном анализе инвестиционных альтернатив.

Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования, предназначенные для хозяйствующих организаций различных форм собственности, предусматривают использование следующих показателей эффективности инвестиционного проекта [8]:

· показатели коммерческой (финансовой) эффективности, учитывающие финансовые последствия реализации проекта для его непосредственных участников;

· показатели бюджетной эффективности, отражающие финансовые последствия осуществления проекта для федерального, регионального и местного бюджетов;

· показатели экономической эффективности, учитывающие затраты и результаты, связанные с реализацией проекта.

При определении эффективности инвестиционного проекта предстоящие затраты и результаты оцениваются в пределах расчетного периода, продолжительность которого принимается с учетом [74]:

· срока использования авансированного капитала, периода эксплуатации материализованных капитальных вложений вплоть до их ликвидации;

· нормативного срока службы основного технологического оборудования;

· заданных параметров прибыли;

· требований инвестора (процентная ставка, период погашения и т.п.).

Оценка эффективности ИП осуществляется в рамках расчетного периода – временного интервала с момента начала осуществления до завершения проекта [8].

Расчетный период определяется нормативным сроком службы основного технологического оборудования, либо задается требованиями инвестора. Расчетный период разбивается на шаги, в рамках которых производится агрегирование данных, используемых при расчете финансовых показателей.

Шаги расчета определяются их номерами (0, 1, ...). Время в расчетном периоде измеряется в годах или долях года и отсчитывается от фиксированного момента t₀ = 0, принимаемого за базовый. В тех случаях, когда базовым является начало нулевого шага, момент начала шага с номером m обозначается через t_m, если же базовым моментом является конец нулевого шага, через t_m обозначается конец шага с номером m. Продолжительность разных шагов может быть различной.

Проект, как любая финансовая операция, связан с получением доходов и (или) осуществлением расходов, порождает денежные потоки (потоки реальных денег). Денежный поток ИП – это зависимость от времени денежных поступлений и платежей при реализации порождающего его проекта, определяемая для всего расчетного периода [8].

Инвесторы предъявляют экономические ограничения на инновационные процессы, обеспечивающие не только возврат вложенных средств, но и получения дохода. Немаловажным фактором является также период, в течение которого будут возмещены понесенные расходы, а также период, необходимый для получения расчетной прибыли.

В соответствии с Методическими рекомендациями по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования основными методами оценки экономической эффективности являются методы [8]:

· чистого дисконтированного дохода (ЧДД);

· срока окупаемости;

· индекса доходности и рентабельности проекта;

· внутренней нормы доходности;

· расчета точки безубыточности проекта.

Обоснование дисконта–коэффициент дисконтирования (d):

d = a + b + с, (11.69)

где а – принимаемая цена капитала (очищенная от инфляции) или чистая доходность альтернативных проектов вложения финансовых средств; b – уровень премии за риск для проектов данного типа (в соответствии с классификацией инновации); с – уровень инфляции.

Премия за рискрассчитывается исходя из среднего класса инновации (К), определяемого на основе табл. 11.6.

Сложные ставки ссудных процентов - student2.ru , (11.70)