Расчет гибких металлических труб
Необходимо выполнить расчет гибких водопропускньи труб с относительной жесткостью ε > 50. При этом грунт засыпки не может воспринимать растягивающие напряжения, и, следовательно, на тех участках конструкции, которые перемещаются от грунта, реакция среды равна нулю.
60
При расчете использованы классические методы строительной механики и теории упругости. Нагрузка на трубу вдоль ее продольной оси принимается постоянной, поэтому в качестве расчетного элемента рассматривается кольцо единичной ширины (плоская задача). Основной нагрузкой является давление грунта насыпи и транспортных средств, находящихся на ее поверхности. Динамический эффект от проходящих грузов обычно не учитывается из-за амортизационных свойств грунта, насыпанного выше трубы.
Таким образом, задача сводится к расчету упругого кольца, находящегося в среде, наделенной свойствами винклеровского основания, а именно:
при 
при 
где σr — радиальная составляющая упругого отпора; к — коэффициент упругого отпора грунта (коэффициент постели); wr— радиальное перемещение контактирующей поверхности кольца (W>0 при перемещении от центра кривизны).
Рассматривается кольцо кругового очертания, на которое действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q(x). Интенсивность активного давления в пересчете на единицу длины дуги кольца g(s) выражается формулой:
Раскладывая величины g(s) на радиальную p(s) и тангенциальную р1 (s)составляющие, получим:
Составляющие интенсивности активного давления в пересчете на единицу длины дуги кольца на отрезке (-π;π) представим в виде тригонометрических рядов:
где φ — текущая координата рассматриваемого сечения; п--целые числа от 1 до т.
61
Коэффициенты этих рядов апи bn (также и для разрывных нагрузок) по Эйлеру определяются так:
где р(φ) и р1(φ) — соответствующие выражения функций, аппроксимирующих эпюры радиальных и касательных составляющих активного давления.
Ожидаемый характер деформаций кольца и эпюры упругого отпора будут иметь вид, показанный на рис. 34,а и б. В верхней части кольца, ограниченной центральным углом 2φо, отпор отсутствует.
При решении поставленной задачи приняты следующие допущения:
плоские сечения стенок кольца, перпендикулярные к его срединной поверхности до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к ней после деформации;
продольные волокна при деформации кольца не оказывают давления друг на друга;
влиянием продольной деформации срединной поверхности кольца можно пренебречь;
разницей радиусов срединной и наружных поверхностей можно пренебречь.
Рис. 34 Деформация кольца под действием давления q(x) (а) и эпюра пассивного отпора грунта (б):
1 -очертание деформированного кольца; 2 - эпюра пассивного отпора; 3 -безотпорная зона
62
Для выделенного из кольца бесконечно малого элемента dl = Rdφ (рис. 35), находящегося в состоянии равновесия, имеют место следующие уравнения статики:  На основании теории упругости по лучены следующие выражения для |  Рис. 35. Бесконечно малый элемент кольца с действующими нагрузками и усилиями |
упругой линии круговой оболочки:
где Θ — угол поворота сечения, который считается положительным, при повороте против часовой стрелки; Е— модуль упругости материала кольца; J— момент инерции расчетного продольного сечения; ε — относительное удлинение срединной поверхности под действия продольной силы; и— касательное перемещение кольца.
Из второго уравнения при ε = 0 следует, что:
Воспользовавшись приведенными ранее зависимостями, после некоторых преобразований получим следующее дифференциальное уравнение:
где 
— коэффициент относительной жесткости.
Для безотпорного участка ω = 1, так как к= 0.
63
Таким образом, при заданной нагрузке необходимо определить шесть факторов: три кинематических (и, w, Θ) и три силовых (М, Q, N).
Такое решение для безотпорной и отпорной зон в матричной форме имеет вид:
где 
— векторы, содержащие расчетные значения кинематических и силовых факторов;
— векторы постоянных интегрирования; 
и 
— векторы нагрузки, раскладываемой в ряды.
Матрицы K1и К2 для безотпорной 
и отпорной 
зон имеют следующий вид:
64
В матрицах приняты следующие обозначения:
; 
;
; 
;
Для определения постоянных интегрирования необходимо иметь 12 условий.
Учитывая симметрию задачи, имеем следующие граничные условия:
при 
при 
Дополнительные шесть уравнений получим из условия сопряжения зон:
Для определения φо необходимо дополнительное условие;
Это уравнение трансцендентное; решение его исключительно трудоемко. В связи с этим предлагается использовать метод последовательных приближений: задаваясь углом φо, отыскивают радиальное перемещение при этом угле; если оно не окажется равным нулю (что чаще всего и бывает), процесс повторяется до тех пор, пока радиальное перемещение не будет меньше заданного значения.
Решение выполняется на ПЭВМ по специальной программе при конкретных значениях параметров нагрузки 
и грунтовой среды 
В качестве примера приведем расчет металлической гофрированной трубы с отверстием диаметром 2 м, гофром 130×32,5 мм и толщиной листа 1,5 мм (J = 0,2.45 см4/см, А= 0,173 см2/см) при q = 1 кН/м2.
65
Исходными данными для расчета на ПЭВМ являются безразмерные параметры нагрузки gr4/(ЕJ) и среды кR4/(ЕJ). В результате расчета можно получить размер безотпорной зоны 2φо, значения силовых (М, Q, N)и кинематических (и, w, Θ) факторов в любом сечении кольца с координатой φ (угол φ отсчитывается от вертикального диаметра кольца).
Для сравнительного анализа были проведены расчеты при значении коэффициента сопротивления грунта, окружающего кольцо, к — 104 кН/м3, соответствующее значение безотпорной зоны 2φо = 109°.
Заметим, что по приведенной ранее классификации рассчитанное кольцо относится к классу гибких (ω >50).
В табл. 8 приводятся результаты расчета, а на рис. 36 и 37 — их графическая интерпретация.
Таблица 8
| φ, град. | w, м | и, м | М, кН×м | N, кН |
| 0,046 | 0,000 | 0,072 | -1,432 | |
| 0,040 | 0,012 | 0,054 | -1,463 | |
| 0,026 | 0,020 | 0,009 | -1,528 | |
| 0,009 | 0,025 | -0,038 | -1,565 | |
| -0,004 | 0,026 | -0,056 | -1,445 | |
| -0,011 | 0,024 | -0,036 | -1,202 | |
| -0,014 | 0,020 | -0,012 | -1,075 | |
| -0,014 | 0,016 | 0,003 | -1,111 | |
| -0,013 | 0,013 | 0,009 | -1,305 | |
| -0,012 | 0,009 | 0,011 | -1,605 | |
| -0,012 | 0,006 | 0,009 | -1,922 | |
| -0,012 | 0,003 | 0,008 | -2,163 | |
| -0,012 | 0,000 | 0,007 | -2,252 |
66
Рис. 36Рис. 37
Рис. 36. Эпюры радиальных (а) и касательных (б) перемещений.
Рис. 37. Эпюры изгибающих моментов (а) и продольных сил (б)
Рассмотрим расположенное в грунте кольцо, ось которого в недеформированном состоянии очерчена по окружности. Грунт, окружающий кольцо, воздействует на него как нагрузка и как упругая среда, вовлекаемая в совместную работу с кольцом.
Все основные выкладки даны для случая загружения кольца заданными распределенными по его наружной поверхности нагрузками в условиях двухсторонних связей.
67
Ранее было получено следующее дифференциальное уравнение:
Интенсивность реактивного давления представим в виде двух компонентов: радиального σ и тангенциального σ1; они связаны с перемещениями срединной поверхности кольца линейной зависимостью:
и 
где wи и— соответственно радиальные и тангенциальные перемещения срединной поверхности;
к и к1 — коэффициенты сопротивления грунта радиальному и тангенциальному перемещениям.
Величину коэффициента к1проф. Л.М. Емельянов рекомендует ориентировочно принимать в пределах: 
, где δ — коэффициент трения грунта о внешнюю поверхность кольца.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Величины 
представляют собой приведенные начальные параметры:
Введенные здесь функции А, В, С, D, E, F по структуре и физическому смыслу идентичны известным из теории балок на упругом основании функциям Пузыревского — Крылова. Назовем их обобщенными функциями влияния и разграничим на две группы — четные и нечетные.
68
Четные обобщенные функции влияния:
нечетные обобщенные функции влияния;
Здесь приняты следующие обозначения:
Остальные коэффициенты выражаются через комбинации первых:
69
В приведенных формулах приняты следующие обозначения:
где
Все коэффициенты безразмерные.
Частное решение представлено в виде следующего тригонометрического полинома:
Имея решение исходного дифференциального уравнения, можно получить выражения остальных пяти расчетных величин перемещений и усилий, воспользовавшись уравнениями равновесия и зависимостями теории упругости. Однако вначале целесообразно установить дифференциальную связь между обобщенными функциями влияния.
Непосредственным дифференцированием находим:
70
Решая систему линейных уравнений, получим обратную дифференциальную зависимость между обобщенными функциями влияния четной и нечетной групп. Опуская промежуточные преобразования, запишем:
Окончательные выражения расчетных величин представлены в форме матрицы функций влияния (табл. 9). В горизонтальных строках записаны общие решения, указанных в первом вертикальном столбце внутренних сил и перемещений. В остальных столбцах вписаны обобщенные функции влияния приведенных начальных параметров. Крайний правый столбец содержит выражения, отражающие влияние нагрузки, приложенной к кольцу. Нетрудно видеть, что интегральная матрица обобщенных функций влияния симметрична относительно главной диагонали, что является следствием теоремы Бетти о взаимности работ.
Таблица 9
| Усилия и деформации | Приведенные начальные параметры | Pi | |||||
 |  |  |  |  |  | ||
 | -εD+ +(ε+ε1)F | εC+ +(ε+ε1)E | -(ε+ε1) × ×(D+F) | C | -B | -A+ +C+εE | PM |
 | εC+ +(ε+ε1)E | εB+(ε+ε1)× ×(D+F) | (ε+ε1) × ×(C+E) | B | A-εE | εD+ +(ε+ε1)F | Pq |
 | -(ε+ε1) × ×(D+F) | (ε+ε1) × ×(C+E) | -ε1B- -(ε+ε1)D- -(ε+ε1+ +ε· ε1)F | A | -B+ +ε1F | (ε+ε1)E | PN |
| U | C | B | A | -F | -E | D | Pu |
| W | -B | A-εE | -B+ +ε1F | -E | D+F | C | Pw |
| -RΘ | -A+ +C+εE | εD+ +(ε+ε1)F | (ε+ε1)E | D | C | -B+D | PΘ |
71
В таблице приняты следующие обозначения:
Таким образом, в результате расчета кругового кольца, расположенного в упругой среде и загруженного внешними распределенными по его периметру нагрузками, получено исчерпывающее решение.