Примеры решения типовых задач

Задача 1. Определить отметку точки на плане с горизонталями аналитическим способом (рис.1).

Рис.1

H_А = H_Н.Г + (h / d)•а (м);

H_Н.Г = 310,00 м; H_В.Г = 311,0 м; а = 10 мм; d = 30мм;

h = 1м.

h – высота сечения рельефа;

d – заложение горизонталей на плане;

а – расстояние от нижней горизонтали до искомой точки А на плане.

H_А = 310,00м + (1м : 30мм) х 10мм = 310,33 м.

H_А =310,33 м

Задача 2.Определить уклон линии на плане с горизонталями (рис.2).

d

Рис. 2.

i = h_1-2 / d (⁰/₀) (⁰/₀₀)

h – разность отметок высот горизонталей (превышение)

d – заложение

h = Н₂—Н₁; h_сеч.= 2,00 м; h₁.₂ = 0,32м d = 40 м

Задача 3. Определить румб линии направления 2, если азимут ее равен 152° 43'. По величине азимута определяют, что линия расположена во II четверти (рис.3). Формула румба второй четверти имеет вид: r= 180° - А.

r

А

Рис. 3

r = 180⁰ 00' - 141° 43' = 38°17'; r = 38°17'

Задача 4.Определить отметку последующей точки через отметку предыдущей по следующим данным:

отметка начальной точки – Н₁ = 21,470 м;

отсчет по задней рейке – 3 = 1330 мм;

отсчет по передней рейке – П = 2790 мм;

Задачу можно решить двумя способами геометрического нивелирования «из середины».

1. Определение отметки через превышение точек.

h = 3 - П = 1330 - 2790 = -1460 мм

Н₂ = Н₁ + h= 21,470 м - 1.460 м = 20,010 м.

2. Определение отметки через горизонт инструмента.

ГИ = Н₁ + 3 = 21,470м + 1,330м = 22,800 м

Н₂ = ГИ – П = 22,800м - 2,790м = 20,010 м.

Задача 5. Определить отметку последующей точки через отметку предыдущей по следующим данным:

отметка начальной точки – Н₁ = 72,800 м

высота инструмента – i = 1450 мм

отсчет по передней рейке – П = 0680 мм

Задачу можно решить двумя способами геометрического нивелирования «вперед».

1.Определение отметки точки через превышение

h = i – П = 1450 мм – 680 мм = (+770) мм

Н₂ = Н₁ + h = 72,800 м + 0,770 м = 73,570 м.

2.Определение отметки точки через горизонт инструмента

ГИ = Н₁ + i = 72,800 м + 1,450 м = 74,250 м;

Н₂ = ГИ – П = 74,250 м - 0,680 м = 73,570 м.

Задача 6. Решить прямую геодезическую задачу (рис.4). Определить прямоугольные координаты последующей точки (т.2) по координатам предыдущей точки (т.1), если известно:

координаты первой точки – X₁ = 4250 м, У₁ = 6730 м;

расстояние между точками – d_1-2 = 120,10 м;

направление линии 1-2, т.е. ее дирекционный угол – α_{1- 2} = 48°30'

1. Координаты точки 2 определяют по формулам:

Х₂ = X₁ +Δ X

У₂ = У₁ + Δ У

Рис.4

Для определения координат точки 2 сначала нужно найти при­ращения координат ΔX; ΔУ, затем сами координаты Х₂; У₂.

2. Вычисляют приращение координат.

ΔХ= d_1-2 х соs г = 120,10м х 0,6626 =79,53 м

ΔУ= d_1-2 х sin г = 120,10м х 0,7490 = 89,95 м.

Знаки приращений координат можно определить по следующей схеме (рис.5). Они зависят от четверти, в которой расположена линия.

Рис.5

3. Вычисляют координаты точки 2.

Х₂ = 4250м + 79,53м = 4329,53 м

У₂ = 6730 + 89,95 =б819,95 м

Задача 7. Вычислить погрешность вертикального круга и под­считать величину угла наклона. Отсчеты по вертикальному кругу следующие: КЛ=16°46'; КП = 163° 16';

1. Погрешность вертикального круга, т.е. место нуля вычисляют по формуле:

При работе с теодолитом 3Т30:

МО = ( КЛ + КП )+ 180° ) / 2 = (16°46' + 163^о 46' + 180° ) / 2 = + 01'

При работе с теодолитами 2Т30, 2Т5К, 3Т5КП место нуля считать МО = (КЛ + КП) / 2 .

2. Угол наклона вычисляют по следующим формулам:

При работе с теодолитом 3Т30:

𝜈 = ( КЛ – КП – 180⁰ ) / 2;

𝜈 = (16⁰ 46′ + 360⁰ 00′ ) - 163⁰ 16′ - 180⁰ 00′ = 33⁰ 30′ / 2 = 16⁰ 45′;

При работе с теодолитами 2Т30, 2Т5К, 3Т5КП угол наклона вычисляют по формулам:

𝜈 = МО – КП; 𝜈 = КЛ – МО; что подтверждает правильность вычислений.

Для других теодолитов место нуля и вертикальный угол считать по формулам, приведенным в паспорте данного теодолита.

Задача 8.Решить обратную геодезическую задачу. Вычислить длину линии между двумя точками и определить направление этой линии (румб, ази­мут), если координаты начальной и конечной точек равны: X₁ = 320,50 м; Х₂ = 230,70 м; У₁= 780,20 м; У₂ = 900,10 м.

1. Вычисляют приращения координат:

Δ Х = Х₂ - Х₁ = 230,70 м - 320,50 м = - 89,80 м;

ΔУ=У₂ –У₁ = 900,10 м - 780,20м = 119,90 м.

Знаки приращений говорят, что линия расположена во II чет­верти (ЮВ).

2. Величина румба определяется по формуле:

tg r= ΔY / Δ X = 119,90 м : 89,80 м = 1,3352;

tg r = 1,3352;

по тангенсу найдем величину румба — 53°10'.

3. Расстояние между точками вычисляют по теореме Пифагора:

(d_1-2)² = X² + Y² = (- 89,80)² + (119,90)² = 22440,05 м² ;

d_1-2 = 149,80м;

Поверка:

d_1-2 = ΔX / cos r ; d_1-2 = ΔY / cos r

Задача 9. Подготовить данные для построения картограммы зем­ляных работ, т.е. подсчитать черные, проектную и рабочие отметки по следующим данным нивелирования поверхности по квадратам.

Схема нивелирования

1	2		3	4
	1350	1490		1570 1700
	5	6		7 8
	1430	1510		1590 1720
	9	10		11 12

1470 1540 1610 1750

Отметка репера – Н_Rp = 18,700 м. Отсчет по рейке на репере – H_i = 1,300м.

1. Для определения черных отметок точек площадки нужно найти горизонт инструмента:

Н_ГИ = Н_Rp + H_i = 18,700м + 1,300м = 20,000 м.

2. Вычитая из горизонта инструмента отсчеты по рейкам, опреде­лим черные отметки соответствующих точек вершин квадратов: Н_ч = Н_ГИ - b_i :

Н₁ = 20,000 - 1,350 = 18,65 м

Н₂ = 20,000 - 1,490 = 18,51 м

Н₃ = 20,000 - 1,570 = 18,43 м

Н₄ = 20,000 - 1,700 = 18,30 м

Н₅ = 20,000 - 1,430 = 18,51 м

Н₆ = 20,000 - 1,510 = 18,49 м

Н₇ = 20,000 - 1,590 = 18,41 м

Н₈ = 20,000 - 1,720 = 18,28 м

Н₉ = 20,000 - 1,470 = 18,53 м

Н₁₀ = 20,000 - 1,540 = 18,46 м

Н₁₁ = 20,000 - 1,610 = 18,39 м

Н₁₂ = 20,000 - 1,750 = 18,25 м

3. Проектная (красная) отметка подсчитывается по формуле:

Н_пр = ( ΣН₁ + 2 ΣН₂ + 4 ΣН₄) / 4n ;

Н₁ – отметки точек, принадлежащих только одному квадрату (1,4,9,12);

Н₂ — отметки точек, общих для двух квадратов (2,3,8,11,10,5);

Н₄ — отметки точек общих для 4 квадратов (6,7);

n— число квадратов;

Н_пр = (73,73 + 2x110,64 + 4x36,90 4) : 24 = 18,40м

4.Рабочие отметки подсчитываются по формуле: Н_р = Н_пр – Н_ч ;

Н _р1 = 18,40 - 18,65 = - 0,25 м

Н _р2 = 18,40 - 18,51 = - 0,11 м

Н _р3 = 18,40 - 18,43 = - 0,03 м

Н _р4 = 18,40 - 18,30 = + 0,10 м

Н _р5 = 18,40 - 18,57 = - 0,17 м

Н _р6 = 18,40 - 18,49 = - 0,09 м

Н _р7 = 18,40 - 18,41 = - 0,01 м

Н _р8 = 18,40 - 18,28 = + 0,12 м

Н _р9 = 18,40 - 18,53 = - 0,13 м

Н _р10 = 18,40 - 18,46 = - 0,06м

Н _р11 = 18,40 - 18,39 = + 0,01м

Н _р12 = 18,40 - 18,25 = + 0,15м

Данные для построения картограммы земляных работ готовы.

Задача 10. Найти проектные отметки промежуточных точек ли­нии на местности с проектным уклоном — I = - 0,002. Точки распо­ложены на расстоянии 25 м одна от другой. Длина линии 250 м. Проектная отметка начальной точки 1: Н_пр = 42,100 м.

Н_пр(n) = Н_пр(n-1) + i x d; d = 25м

Н₁ = 42,100 - 0,002 x 25 = 42,05 м

Н₂ = 42,050 - 0,002 х 25 = 42,00 м

Н₃ = 42,000 - 0,002 х 25 = 41,95 м и т.д.