Класифікація і властивості похибок вимірювань
Абсолютні похибки вимірювань поділяють на грубі, систематичні і випадкові.
Грубі похибки виникають при неуважному відношенні до вимірювань, або при недостатній кваліфікації працюючого. Вони значно відрізняються від інших значень і вибраковуються.
Систематичні похибки можуть обумовлюватися зіпсованим приладом, дією кліматичних умов, зміною розміру об¢єкту, який вимірюється, та іншими факторами.
Необхідно встановити причини появи систематичних похибок і закони їхньої дії, потім визначити відповідні поправки. Перед вимірюваннями прилади перевіряють і визначають в який мірі вони задовольняють заплановані вимоги. Поправки уводять до результатів вимірювань, а прилади, якщо вони не в повній мірі відповідають вимогам, ремонтують або замінюють.
Для виключення або зменшення впливу систематичних похибок застосовуються спеціально розроблені способи і заходи вимірювань, а тому систематичні похибки ретельно вивчають.
Випадкові похибки обумовлюються впливом факторів, які безперервно змінюються у процесі вимірювань (освітленість, температура, сила вітру, тощо) і врахувати їх неможливо.
У малій кількості вимірювань закономірність появи випадкових похибок і їхні характеристики не виявляються. Властивості цих похибок виявляються тільки при відносно великій кількості повторень вимірювання.
Таблиця 3
Вихідні дані до виконання завдання
| Варіанти | |||||
| 00 - 19 | 20 - 39 | 40 - 59 | 60 - 79 | 80 - 99 | |
| Результати вимірювань, a, м | |||||
| 180,01 | 250,02 | 224,98 | 150,01 | 200,02 | |
| 179,98 | 249,99 | 225,01 | 149,98 | 199,99 | |
| 180,00 | 250,03 | 224,99 | 149,99 | 199,98 | |
| 179,99 | 250,01 | 225,00 | 150,02 | 200,01 | |
| 180,02 | 249,97 | 225,02 | 149,99 | 199,99 | |
| 180,01 | 249,99 | 224,98 | 150,01 | 200,02 | |
| 179,99 | 250,00 | 224,99 | 150,00 | 200,01 | |
| 180,03 | 250,02 | 224,97 | 149,99 | 199,96 | |
| 179,98 | 249,98 | 225,03 | 150,02 | 199,99 | |
| 180,01 | 250,01 | 224,99 | 149,99 | 200,02 | |
| 179,99 | 250,02 | 224,96 | 150,01 | 199,98 | |
| 180,02 | 249,96 | 225,01 | 149,98 | 200,01 | |
| 179,97 | 249,98 | 224,98 | 150,00 | 200,03 | |
| 179,98 | 250,01 | 225,02 | 150,01 | 199,99 | |
| 180,02 | 249,99 | 224,99 | 149,99 | 199,98 | |
| 180,01 | 250,02 | 225,01 | 150,03 | 200,00 | |
| 179,99 | 250,01 | 225,02 | 150,01 | 200,01 | |
| 180,02 | 249,98 | 225,00 | 149,96 | 199,99 | |
| 179,97 | 249,96 | 224,96 | 149,97 | 200,03 | |
| 180,03 | 250,04 | 250,03 | 150,02 | 199,96 |
Для заданого ряду похибок вимірювань необхідно визначити середню квадратичну і граничну похибки, а також перевірити властивості випадкових похибок вимірювань.
Для прикладу вирішимо це завдання, використовуючі подібний ряд похибок вимірювань.
Таблиця 4
Визначення властивостей похибок вимірювань
| № вимірювання | Результати вимірювання | D = L - Х | D2 |
| 195,02 | +2 | ||
| 195,01 | +1 | ||
| 194,99 | -1 | ||
| 195,00 | |||
| 194,98 | -2 | ||
| 195,01 | +1 | ||
| 195,02 | +2 | ||
| 194,97 | -3 | ||
| 194,99 | -1 | ||
| 195,01 | +1 | ||
| 194,98 | +2 | ||
| 195,02 | +2 | ||
| 194,99 | -1 | ||
| 195,01 | +1 | ||
| 195,02 | +3 | ||
| 194,98 | -2 | ||
| 194,99 | -1 | ||
| 195,01 | +1 | ||
| 194,98 | -2 | ||
| 195,02 | +2 | ||
| Дійсне значення Х = 195,00 | S +16 S -15 |
Середня квадратична похибка вимірювань визначається за формулою:
m2 =D12 + D22 + D32 + ¼ + Dn2 / n, або 
, де
D - похибка одного вимірювання;
n - кількість вимірювань.
Тоді = 
= 1,70 см.
Значення середньоквадратичної похибки m в даному прикладі дорівнює 1,70 см.
При виконанні геодезичних вимірювань часто користуються формулою граничної похибки mграничне = 2m, або навіть mграничне = 3m. У нашому випадку 2m = 1,70 ´ 2 = 3,40 см, а 3m = 3 ´ 1,70 = 5,10 см.
Використовуючі формулу mграничне = 2m, перевіримо на даному ряді властивості випадкових похибок. Найбільша похибка у наведеному прикладі дорівнює 3 см і вона по модулю не перевищує граничну похибку 2m яка дорівнює 3,40 см. Цим підтверджується перша властивість випадкових похибок: випадкові похибки не можуть перевищувати за абсолютним значенням визначеної межі.
Позитивних похибок в даному ряду вимірювань 10, від¢ємних 9, тобто кількість позитивних і від¢ємних похибок приблизно однакова, а це підтверджує другу властивість випадкових похибок: в масиві вимірювань позитивні і від¢ємні похибки зустрічаються порівну.
В нашому прикладі малі похибки (які не перевищують m) зустрічаються в 10 випадках, тобто в половині вимірювань, а похибок, які не перевищують 2m тобто 3,40 см взагалі немає то це підтверджує третю властивість випадкових похибок: малі за абсолютним значенням похибки зустрічаються значно частіше, ніж великі.
Четверта властивість випадкових похибок в тому, що при необмеженій кількості вимірювань середнє арифметичне з випадкових похибок прямує до ноля, тобто
Lim 
Середнє арифметичне. Якщо є ряд рівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини, то середнє арифметичне цієї величини буде визначатися за формулою:
, де
- одержані значення величини;
n - кількість вимірювань.
При визначенні середнього арифметичного користуються наближеним значенням і різницею.
Наприклад. Необхідно визначити середнє арифметичне з чисел: 250,06; 249,96; 250,08; 250,05; 249,94; 250,06. За наближену величину можна взяти L0 = 249,92. Різниці DL = Lі - L0 будуть: 0,14; 0,00; 0,10; 0,16; 0,13; 0,11; 0,02; 0,14.
Середнє арифметичне різниць:
Середнє арифметичне значення результатів вимірювань буде:
Найвірогідніші похибки.
Дуже часто при виконанні геодезичних вимірювань дійсне значення величини, яку визначають Х бува невідоме. У такому випадку за точне значення величини приймають її середнє арифметичне значення L (найвірогідніше значення). Різниці між окремими вимірюваннями і найвірогіднішим значенням називають найвірогіднішими похибками V = - L. Ці похибки характеризуються слідуючими властивостями:
1. Сума найвірогідніших похибок дорівнює нулю 
2.Сума квадратів найвірогідніших похибок є мінімум 
= min. Середня квадратична похибка одного вимірювання визначається за формулою: 
, де
V - найвірогідніші похибки вимірювань;
n - кількість вимірювань.
Похибка середнього арифметичного визначається за формулою:
Таблиця 5
Визначення властивостей найвірогідніших похибок
| № Вимірювання | Варіанти | ||||
| 00 - 19 | 20 - 39 | 40 - 59 | 60 - 79 | 80 - 99 | |
| 76°35¢56¢¢ | 36°22¢37¢¢ | 72°46¢28¢¢ | 45°56¢08¢¢ | 18°41¢52¢¢ | |
| 76°35¢48¢¢ | 36°22¢41¢¢ | 72°46¢34¢¢ | 45°56¢26¢¢ | 18°41¢34¢¢ | |
| 76°35¢52¢¢ | 36°22¢46¢¢ | 72°46¢16¢¢ | 45°56¢14¢¢ | 18°41¢49¢¢ | |
| 76°35¢44¢¢ | 36°22¢39¢¢ | 72°46¢27¢¢ | 45°56¢39¢¢ | 18°41¢57¢¢ | |
| 76°35¢54¢¢ | 36°22¢52¢¢ | 72°46¢42¢¢ | 45°56¢17¢¢ | 18°41¢28¢¢ | |
| 76°35¢47¢¢ | 36°22¢27¢¢ | 72°46¢33¢¢ | 45°56¢29¢¢ | 18°41¢36¢¢ | |
| 76°35¢53¢¢ | 36°22¢36¢¢ | 72°46¢21¢¢ | 45°56¢45¢¢ | 18°41¢28¢¢ | |
| 76°35¢46¢¢ | 36°22¢27¢¢ | 72°46¢18¢¢ | 45°56¢36¢¢ | 18°41¢42¢¢ | |
| 76°35¢52¢¢ | 36°22¢43¢¢ | 72°46¢31¢¢ | 45°56¢14¢¢ | 18°41¢51¢¢ | |
| 76°35¢48¢¢ | 36°22¢52¢¢ | 72°46¢50¢¢ | 45°56¢32¢¢ | 18°41¢43¢¢ | |
| aсер= | aсер= | aсер= | aсер= | aсер= |
Приклад. Необхідно визначити:
1. Середнє арифметичне значення кута;
2. Середню квадратичну похибку окремого вимірювання;
3. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного;
4.Граничну похибку.
Таблиця 6
Рішення
| Вимірювання | Результати вимірювань | Відхилення від вірогідного відхиленняі,V | Квадрати відхилень, V2 |
| 22°27¢38¢¢ | -2¢¢ | 4¢¢ | |
| 22°27¢56¢¢ | +16¢¢ | 256¢¢ | |
| 22°27¢41¢¢ | +1¢¢ | 1¢¢ | |
| 22°27¢33¢¢ | -7¢¢ | 49¢¢ | |
| 22°27¢27¢¢ | -13¢¢ | 169¢¢ | |
| 22°27¢39¢¢ | -1¢¢ | 1¢¢ | |
| 22°27¢44¢¢ | +4¢¢ | 16¢¢ | |
| 22°27¢34¢¢ | -6¢¢ | 36¢¢ | |
| 22°27¢52¢¢ | +12¢¢ | 144¢¢ | |
| 22°27¢36¢¢ | -4¢¢ | 16¢¢ | |
| n = 10 | aсер =22°27¢40¢¢ |  |  692° |
При визначенні одержали:
1. Середнє арифметичне значення кута a = 22°27¢40²
2. Середня квадратична похибка окремого вимірювання:
²
3. Середня квадратична похибка середнього арифметичного:
²
4. Гранична похибка: Dгр = 3m = 3 ´ 9 = 27²; Dгр = 2m = 2 ´ 9 = 18².
Список рекомендованої літератури
Основна
1. Баршай С.Е., Нестеренок В.Ф., Хренов Л.С. Инженерная геодезия. -Минск: Вьішейшая школа, 1976. -400 с.
2. Булгаков Н.П., Рьівкина Е.М., Федотов Г.А. Прикладная геодезия. - М.: Недра, 1990.-416с.
3. Павлів П.В. Геодезія.-К: ІЗМН., 1997.-200с.
4. Шилов П.И., Федоров В.И. Инженерная геодезия и азрогеодезия. - М.: Недра, 1971.-384с.
Додаткова
5. Голубкін В.М., Соколова Н.І., Палехін І.М., Соффер М.І. Геодезія. -Київ. 1970.-444с.
6. Дубов С.Д., Поляков А.Н. Геодезия. - М: Агропромиздат, 1988.- 238 с.
7. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Т. Геодезия. - М.: Недра, 1980. -616с.
8. Хейфец Б.С., Данилович Б.Б. Практикум по инженерной геодезии. - М. 1979.-332с.
Мартиненко Володимир Олександрович
Інженерна геодезія
Частина 1
Методичні вказівки щодо самостійної роботи
Суми, РВВ, Сумський національний аграрний університет, вул. Кірова, 160
Підписано до друку: 2009 р. Формат А5: Гарнітура Times New Roman Cyr
Тираж: примірників Замовлення __ № _______ Ум.друк. арк. 0,92