Одноканальная СМО с очередью

Пусть на вход одноканальной СМО (n = 1 - число каналов, m - число мест в очереди) поступает экспоненциальный поток заявок. Время обслуживания заявки в СМО - случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону.

Интенсивность потока заявок на входе СМО равна λ (1/сек).

Среднее время обслуживания заявки обозначим - t_обсл. Обратная величина к среднему времени обслуживания определяет интенсивность потока обслуживания μ = 1/ t_обсл. Эта величина характеризует среднее число заявок, которое может обслужить система в единицу времени.

Определим состояния СМО S_i :

S₀ - система свободна, заявок нет, очереди нет;

S₁ - система обслуживает одну заявку, очереди нет;

S₂ - система обслуживает одну заявку, в очереди одна заявка;

…………………………………………

S _m+1 - система обслуживает одну заявку, в очереди - m заявок.

λ λ λ λ λ

S₀ S₁ S₂ S₃ S₄

μ μ μ μ μ

Рис. 3. Граф состояний одноканальной СМО с очередью

Верхние стрелки на этом графе показывают процесс прихода заявок, нижние стрелки - процесс обслуживания заявок.

Запишем уравнения Колмогорова для этой системы

После решения первых уравнений системы, получим

Подставим эти вероятности в последнее условие, получим

Из этой формулы находим p0

Коэффициент загрузки и коэффициент простоя СМО. Вероятность p₀ соответствует состоянию S₀, а это по определению вероятность того, что система свободна и не обслуживает ни одной заявки. Тогда p₀ - вероятность простоя СМО, или коэффициент простоя. Поэтому величина p_заг = 1 - p₀ - вероятность загрузки СМО или коэффициент загрузки.

СМО с бесконечной очередью.

Пусть очередь в СМО бесконечна (m = 8). Тогда знаменатель в предыдущей формуле для p0 является геометрической прогрессией. Если (λ/μ) < 1, то ряд сходится и его сумма равна

Это позволяет записать выражение для вероятности p0. Это коэффициент простоя.

Тогда коэффициент загрузки равен

Вероятность отказа. В СМО с конечной очередью существует вероятность состояния, в котором очередная пришедшая заявка не может быть обслужена. Это последнее состояние S_m+1. Поэтому вероятность отказа p_отк равен вероятности пребывания СМО в этом состоянии.

В СМО с бесконечной очередью вероятность отказа равна нулю, если

Замечание. Условие p_заг < 1 является фундаментальным в теории СМО. Если принять, что λ = μ или p_заг = 1, то вероятность отказа

превышает единицу, что делает СМО неработоспособной.

Пропускная способность СМО. Для СМО с любой структурой пропускная способность А - количество обслуженных заявок, покидающих систему, в единицу времени. Пропускная способность равна количеству входящих заявок в единицу времени, умноженное на вероятность того, что заявка будет обслужена

Среднее число заявок, находящихся в СМО.

В системе с конечной очередью в каждый момент времени может быть одно из следующих состояний:

S₀: в системе 0 заявок;

S₁: в системе 1 заявка в канале обслуживания и 0 заявок в очереди;

S₂: в системе 1 заявка в канале обслуживания и 1 заявка в очереди;

S₃: в системе 1 заявка в канале обслуживания и 2 заявки в очереди;

……………………………………………………………………………

S _m+1: в системе 1 заявка в канале обслуживания и m заявок в очереди;

Номер состояния S _k соответствует числу k заявок, находящихся в СМО. Вероятность этого состояния равна p_k.

Число заявок, находящихся в СМО, является дискретной случайной величиной со следующей функцией распределения вероятностей

Значение с.в.				…	m + 1
Вероятность pk	p0	p1	p2		pn+1

Среднее число заявок в СМО nср равно математическому ожиданию этой случайной величины

или

Для системы с бесконечной очередью ( m → ∞) эта формула превращается в убывающую геометрическую прогрессию. В этом случае среднее число заявок в СМО равно

Среднее число обслуживаемых заявок. В канале обслуживания одноканальной СМО может обслуживаться одна заявка или ни одной заявки. Этому соответствует следующая дискретная случайная величина

Значение с.в.
Вероятность pk	p0	p1

Среднее число обслуживаемых заявок n_оз равно математическому ожиданию этой случайной величины

Средняя длина очереди. Средняя длина очереди r_cp равна среднему числу заявок в системе n_ср за вычетом среднего числа обслуживаемых заявок.

В одноканальной СМО с бесконечной очередью средняя длина очереди равна

Средняя длина очереди резко возрастает при стремлении коэффициента загрузки p_заг к единице.

Для p_заг больше единицы работа СМО невозможна.

Замечание. Мы рассматриваем только практически значимый стационарный режим работы СМО, в котором переходные вероятности перестают зависеть от времени и система может работать сколь угодно долго. Для исследования переходного режима необходимо численно решить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и проанализировать графики изменения переходных вероятностей во времени, как это было показано выше.

Среднее время пребывания заявки в СМО. В стационарном режиме работы СМО ( p_заг <1 ) интенсивности входного и выходного потоков равны между собой и равны λ. Пусть в стационарном режиме среднее число заявок в системе в единицу времени равно n_ср. Тогда согласно теореме Литтла среднее время пребывания заявки в СМО - T_сист равно

Теорема Литтла доказана для любого распределения потока заявок и при любом распределении времени обслуживания.

Для СМО с бесконечной очередью эту формулу можно переписать в следующем виде

Аналогично можно записать формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди T_оч. В общем случае

Для СМО с бесконечной очередью получим

Эти формулы позволяют определить среднее время обслуживания заявки СМО - t_обсл из следующего соотношения