Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной кабиной, очередь на прием к врачу, очередь на проезд по мосту при движении с одной полосой, очередь на входе в автобус при наличии устройства автоматизированного контроля проезда пассажиров и т.д.). Итак, имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность , а поток обслуживаний – интенсивность . Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний s₀, s₁, s₂,…,s_k,… по числу заявок, находящихся в СМО: s₀ – канал свободен, s₁- канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, s₂ – канал занят, одна заявка стоит в очереди,…, s_k – канал занят, (k-1) заявок в очереди и т.д.

Граф состояний представлен на рис.6

Прежде чем найти выражения для предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании. Доказано, что если , т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок в единицу времени, то предельные вероятности существуют. Если , то очередь растет до бесконечности.

Предельная вероятность р₀ для состояния s₀ приобретет вид

(22)

Так как , то в скобках имеет место геометрический ряд, который сходится к сумме, равной , поэтому и с учетом формул (10)

, ,…, ,…

Предельные вероятности других состояний приобретают вид:

, ,…, ,… (24)

Предельные вероятности p₀, p₁,…, p_k,…образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Следовательно, вероятность p₀ – наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Вычислим среднее число заявок в системе L_сист. Так как количество заявок может принимать значения 0, 1, 2, 3,…, k,…, то по формуле математического ожидания можно записать

С учетом формул (24)

(25)

Можно показать, что формула (7.25) преобразуется при к виду

(26)

Теперь определим среднее число заявок в очереди (длину очереди) L_оч.

Длина очереди есть разница между общим число заявок в системе и заявками, находящимися на обслуживании, тогда

,

где L_об - среднее число заявок, ожидающих обслуживания.

Так как рассматриваемая СМО одноканальная, то обслуживаться может только одна заявка, а остальные заявки ждут своей очереди. Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значение 0 (если канал свободен), либо 1 (если канал занят)

(27)

Теперь

(28)

Среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равно среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.

, (29)

Формулы (29) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, пребывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность .

С учетом (7.26) и (7.28) имеем

, (30)

Пример 6. На оптовую базу поступают на разгрузку три автомобиля в час ( ). Среднее время разгрузки одного автомобиля 10 мин. Определить эффективность СМО.

Решение. Имеем одноканальную СМО с неограниченной очередью. Интенсивность обслуживания автомобилей

Параметр загрузки

Среднее число обслуживаемых автомобилей

Среднее время обслуживания автомобиля

Длина очереди (среднее число автомобилей, ожидающих разгрузки)

Среднее время ожидания автомобиля в очереди