Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью, простейшим входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания

Пусть СМО содержит один канал. Поток заявок является простейшим с интенсивностью l. Время обслуживания Т_обсл распределено попроизвольному закону с математическим ожиданием = M[Т_обсл] и средним квадратическим отклонением s_обсл ⁼ Такая система не является марковской, так как поток обслуживания не является простейшим.

Можно доказать, что среднее число заявок, находящихся в очереди, и среднее время ожидания обслуживания вычисляются по формулам Полячека—Хинчина:

(29)

где коэффициент загрузки системы; v = s_обсл ×m- коэффициент вариации времени обслуживания.

Из (29) по формулам Литтла получим:

(30)

Задача 7. На контейнерную площадку с одним краном прибывает простейший поток автомашин со средним интерва­лом между ними, равным 10 мин. Время погрузки-выгрузки в среднем составляет 6 мин. Время погрузки-выгрузки распре­делено по произвольному закону, среднее квадратическое отклонение времени погрузки-выгрузки равно 1 мин. Определить:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгрузки;

2) средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки;

3) среднее число автомашин на контейнерной площадке;

4) среднее вре­мя нахождения машины на контейнерной площадке.

Решение. Контейнерную площадку с одним краном можно рассматривать как одноканальную СМО с неограни­ченной очередью, простейшим входящим потоком и произ­вольным распределением времени обслуживания. Найдем па­раметры СМО: l = 1/M[T} = 1/10 = 0,1 (машин в мин), m = 1/ M[Т_обсл] = 1/6 = 0,167 (машин в мин);

» 0,1/0,167 » 0,599; v = v = s_обсл ×m = 1 × 0,167.

По формулам (29) и (30) вычислим показатели работы СМО:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгруз­ки:

0,459 маш;

2)средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки:

0,459 / 0,1 = 4,59 » 4,6 мин;

3)среднее число автомашин на контейнерной площадке:

» 0,459 + 0,599 =1,058 маш.;

4)среднее время нахождения машины на контейнерной пло­щадке:

4,59 + 6 » 10,6 мин.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая стати­стика. М.; Высшая школа, 1999.

2. В е н ц е л ь Е.С. Исследование операций: задачи, принципы методология. М.: Наука, 1998.

3. Чистяков В. П, Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.

4. Д а н к о П.Е., П о п о в А.Г., К о ж е в н и к о в а Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1986.

5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории веро­ятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1999.

6. С и н д а л о в с к и й Г.Х. Высшая математика. Основные понятия теории вероятностей. Учебное пособие. М.: РГОТУПС, 1997.

7. М а л ы ш е в а И. А. Теория вероятностей и массового обслуживания: Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 2 курса специальности УПП. М.: ВЗИИТ, 1991.

8. Г у ш е л ь Н.П. Начальные понятия комбинаторики: Учебное пособие. М.: ВЗИИТ, 19 92.

9. Г у ш е л ь Н.П. Математика. Рабочая программа и задания на контрольные работы N 6 – 9 для студентов 2 курса всех инженерно – технических специальностей.

М.: РГОТУПС, 2000.

Содержание:

Теория массового обслуживания.

Случайные процессы.

Поток событий.

Нестационарный пуассоновский поток.

Поток Пальма.

Потоки Эрланга.

Цепи Маркова.

Матрица переходов и граф состояний.

Предельные вероятности.

Марковские цепи с конечным числом состоянии и непрерывным временем

Процесс гибели и размножения

Системы массового обслуживания и их классификация.

Марковские системы массового обслуживания

Показатели эффективности систем массового обслуживания

Замкнутые системы массового обслуживния

Открытые системы массового обслуживания

Таблица основных формул для открытых СМО

Одноканальная система с произвольным распределением времени обслуживания

Литература