Моделирование непрерывных случайных величин

При моделировании непрерывных СВ с заданным законом распределения могут использоваться три метода:

- нелинейных преобразований;

- композиций;

- табличный.

Первые два метода требуют от разработчика модели весьма серьезной математической подготовки и в данном пособии не рассматриваются. Третий метод, условно названный «табличным», основан на замене закона распределения не­прерывной СВ специальным расчетным соотношением, которое позволяет вы­числять значение СВ по значению случайного числа, равномерно распределенного все на том же интервале [0, 1]. Такие соотношения получены практически для всех наиболее распространенных видов распределений и приведены в справочной литературе. В качестве примера ниже приведено расчетное соотноше­ние для показательного закона распределения показательного:

(*), где – параметр показательного распределения, r – равномерно распределённое СЧ.

Технологию моделирования непрерывных случайных величин поясним на примере.

Специалисты в области надежности технических систем доказали, что интервалы времени между отказами распределены по экспоненциальному зако­ну. Чтобы получить в модели величину промежутка времени между двумя со­седними отказами, достаточно сгенерировать случайное число r и подставить его в выражение (*); разумеется, при этом должен быть известен параметр распределения .

В одной и той же имитационной модели могут фигурировать различные случайные факторы, одни могут быть представлены как случайные события, другие – как случайные величины; более того, если моделируется поведение достаточно сложной системы, то ее функционирование может быть связано с возникновением нескольких типов событий и учетом большого числа случай­ных величин, распределенных по различным законам. Если же моделирование всех случайных факторов основано на использовании одного датчика, генерирующего одну «общую» последовательность случайных чисел, то с математической точки зрения их нельзя считать независимыми. В связи с этим для моделирования каждого случайного фактора стараются использовать отдель­ный генератор, или, по крайней мере, обеспечивать создание новой последова­тельности случайных чисел. Во многих специализированных языках и пакетах моделирования такая возможность предусмотрена.

Указания к выполнению практической работы: Данные для решения задач взять из таблицы №1. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задания:

1. Разыграть Х возможных значений случайной еличины Х распределенной нормально с параметрами M{X} = 0 и σ = 1. Оценить параметры разыгранной случайной величины Х.

2. Смоделировать b значений дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения:

Практическая работа № 15 «Получение методами математической статистики результатов»

Основные понятия и определения

Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.

Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.

Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x₁, x₂, …, x_n), выражаемой в виде уравнения регрессии:

Y = f(x₁, x₂, …, x_n).

Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:

- линейную ;

- гиперболическую ;

- показательную ;

- параболическую ;

- степенную .

Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Y и x, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.

Линейная однофакторная регрессия: . Для нахождения параметров a₀ и а₁ используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров a₀ и а₁, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметров a₀ и а₁ находим как решение системы нормальных уравнений:

, где n – объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент a₀ показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а₁ – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Пример.По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a₀ и а₁:

х
Y

Решение.Для определения величин a₀ и а₁ необходимо вычислить следующие значения: åх, åY, åxY, åх². Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	х2	xY
					2,07
					5,92
					9,77
					14,91
					20,05
					22,61
					29,03
Итого					104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=0,876, а₁=1,284. Следовательно, =0,876+1,284х. Т.к. а₁>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу, - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически:

Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

;

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а₀, а₁,. Величину параметров a₀, а₁ и а₂ находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример.По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y параболическая, определить значения коэффициентов a₀, а₁ и а₂:

х
Y

Решение.Для определения величин a₀, а₁ и а₂ необходимо вычислить следующие значения: åх, åY, åxY, åх², åх³, åx⁴, åх²Y. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	xY	х2	х2Y	х3	x4		D= Y -
								2,098	-1,098
								3,488	-0,488
								4,903	1,097
								6,344	0,656
								7,809	0,191
								10,815	0,185
								15,51	0,49
								22,13	-1,13
								27,36	-0,36
								38,5	0,5
Итого

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=0,734, а₁=1,352, а₂=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =0,734+1,352х+0,0126х². Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значения незначительно отличаются от эмпирических данных.

Оценка обратной зависимости между Y и x, может быть дана на основе уравнения гиперболы:

Величину параметров a₀ и а₁ находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример.По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y выражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентов a₀ и а₁:

х
Y

Решение.Для определения величин a₀ и а₁ расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	1/х	Y/х	1/х2		Di
						9,73	4,27
			0,33	3,67	0,11	9,26	1,74
			0,25	2,75	0,062	9,20	1,80
			0,67	1,5	0,028	9,13	-0,13
			0,14	1,14	0,02	9,12	-1,12
			0,11	0,78	0,012	9,10	-2,1
			0,10	0,5	0,01	9,09	-4,09
Итого			2,6	24,34	1,242	64,63

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=9,02, а₁=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =9,02+0,71/х.

Указания к выполнению практической работы: Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задание:

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице.

	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
xi
yi	2.1	2.4	2.6	2.8	3.0

В результате их выравнивания получена функция

Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.