Распределение непрерывных случайных величин

Равномерное распределение:

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если её плотность распределения задаётся выражением:

График этой плотности распределения имеет вид:

Функция распределения:

График функции распределения:

Числовые характеристики:

Вероятностная задача относительно этой непрерывной случайной величины решается по формуле:

, a, bÎ[a, b]

1) Показательное распределение:

Показательное распределение характеризует закон распределения интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке.

Действительно, вероятность того, что за время τ не наступит очередное событие, согласно распределению Пуассона, можно задать выражением вида:

0! = 1

Соответственно, вероятность того, что за время τ наступит очередное событие, будет равна:

Р(Т > τ) = 1 – е^-λ×τ (1)

Это выражение характеризует функцию распределения случайной величины. Если через Х обозначить случайную величину "время наступления очередного события", то выражение (1) можно записать в виде:

Р(Х > х) = 1 – е^-λ×х (2)

С учётом этого, функцию распределения случайной величины, имеющей показательное распределение, можно записать следующим образом:

Числовые характеристики:

Вероятностная задача определяется:

Показательное распределение играет исключительную роль в теории надёжности. Через показательное распределение задаётся так называемая функция надёжности, имеющая вид:

где – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени),

а функция надёжности определяет вероятность того, что в течение времени τ то или иное устройство будет работать безотказно.

2) Нормальное распределение:

Нормальный закон распределения случайной величины является основным законом природы, где процесс описывается с помощью случайной величины.

Плотность распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение, задаётся выражением:

где a и b – параметры распределения.

Математическое ожидание:

Из этого следует, что среднее квадратичное случайной величины по нормальному закону s_х равна параметру b данного распределения.

Как правило, при решении вероятностных задач относительно случайной величины, распределённой по нормальному закону, вводится такое понятие как нормальное стандартное распределение.

В этом распределении математическое ожидание равно 0 (m_х = 0), дисперсия равна 0 (D_х = 0), следовательно, s_х = 0.

Плотность распределения:

Для функции стандартного нормального распределения:

составляются таблицы.

Для того, чтобы через стандартное нормальное распределение можно было решить вероятностную задачу относительно случайной величины общего вида, то есть когда m_х≠0 и D_х≠0, её центрируют ( ) и нормируют (÷ ) таким образом:

В этом случае случайная величина Т имеет стандартное нормальное распределение. И тогда связь между функциями распределения случайной величины общего вида и функцией распределения стандартной величины задаётся выражением:

Соответственно, вероятность того, что случайная величина Х больше a и меньше b, равна:

Р(a<Х<b) = F(b) – F(a) = -

Системы случайных величин

На практике случайные явления чаще всего можно характеризовать не одной случайной величиной, а совокупностью случайных величин.

Как и отдельная случайная величина, свойство системы случайных величин определяется её характеристиками – такими как законы распределения системы случайных величин и числовые характеристики (как характеристиками отдельных случайных величин, входящих в систему, так и характеристиками, отражающими связь между случайными величинами, входящими в систему.Бывают системы как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Закон распределения систему двух случайных величин можно задать в виде таблицы:

Х	Y
y1	y2	…	yi	…	ym
x1	Р11	Р12	...	Р1i	...	Р1m
x2	Р21	Р22	...	Р2i	...	Р2m
...	...	...	...	...	...	…
xi	Рi1	Рi2	...	Рij	...	Рim
...	...	...	...	...	...	…
xn	Рn1	Рn2	...	Рnj	...	Рnm

Где – возможные значения случайных величин , которые могут быть приняты в результате опыта;

– число возможных значений соответственно случайных величин Х, Y;

– вероятность того, что случайная величина Х примет значение x_i, а Y – y_i.

Закон распределения системы случайных величин является её полной характеристикой. Зная закон распределения системы случайных величин, можно определить законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, а также числовые характеристики этих случайных величин.

Так как случайная величина Х может принять значение x_i при одном из несовместных событий, а именно при Y примет значение y_1, Y примет значение y₂, то вероятность этого равна: Аналогично для случайной величины Y определяется по формуле:

Характеристики каждой из случайных величин определяются по формуле:

Аналогичным образом и для Y:

Важной характеристикой системы случайных величин является корелляционный момент между случайными величинами, входящими в систему. Эта характеристика отражает силу связи между случайными величинами и рассеивание случайных величин относительно математических ожиданий. Эта характеристика задаётся выражением:

То есть корелляционный момент равен математическому ожиданию произведения центрированных случайных величин.

Для дискретной случайной величины эта характеристика определяется по формуле:

Корелляционный момент может быть вычислен:

Для того, чтобы определить только силу связи между случайными величинами, вводится такая характеристика как коэффициент корелляции между случайными величинами, который задаётся выражением:

Где - СКО (средне квадратичное отклонение) случайных величин Х и Y.

Если , то между случайными величинами существует линейная связь. Это значит, что по значению одной из случайных величин можно судить однозначно о значении другой случайной величины.

Если , то кореляционной связи между случайными величинами не существует.

В качестве основных характеристик систему двух непрерывных случайных величин рассматриваются функция распределения системы случайных величин и плотность распределения.

Функция распределения системы двух непрерывных случайных величин определяется:

F(x, y) = P(X<x, Y<y)

То есть функция распределения равна вероятности того, что случайная точка попадёт в квадрат с вершинами (x, y).