Среднее геометрическое

Лекция 2 Корреляционная и регрессионная зависимость

Выборочные медиана и мода

Медиана определяется таким образом, чтобы в выборке меньше ее и больше было одинаковое число значений. Для ее получения строится вариационный ряд и изучается его среднее положение:

2 3 5 910 20 100 для нечетного числа значений Me = 9

2 2 4 5 610 20 100 для четного числа значений Me = (5 + 6) /2 = 5,5.

Мода для выборки – наиболее часто встречающееся в ней значение.

Например, для выборки x = 2, 5, 5, 3, 2, 3, 2, 1 Mo = 2

Для ряда распределения:

x		5	6
f	8	4	4

Mo = 3, Me = 4

Для интервального ряда точка моды для интервала с наибольшей частотой определяется сложнее:

x	x1 – x2	x2 – x3	x3 – x4
f	f1	f2	f3

		f2
	f1
			f3
		Mo
	x1	x2	x3	x4

x	0 – 8	8 –16	16 –24
f	3	9	7

Mo = 8 + 8 / (1 + 2/6) = 14

x	0 – 5	5 –10	10 –15
f	2	5	3

Mo = 8

x	5 – 10	10 –15	15 –20
f	5	20	10

Mo = 13

Абсолютные и относительные величины

Абсолютные величины – не зависят от других, измеряются простыми единицами: стоимость – руб., расстояние – м, вес – кг, объем – м³ и т.д.

Относительные величины – представляются в виде отношения (частного) двух других. Единицы измерения часто имеют вид отношения, например, скорость - км/час, цена - руб./шт., руб./кг, производительность – шт./мин., расход топлива – л/км, плотность вещества – кг/м³, плотность населения – чел/км². Иногда величины оказываются безразмерными (в результате сокращения единиц), например, при вычислении доли от целого, темпов изменения во времени, отношения одной части целого к другой:

доля раскрытых преступлений = раскрытых (преступлений)/ общее количество (преступлений);

рост преступности = стало / было;

соотношение осужденных = мужчин / женщин.

Средние арифметическое и гармоническое

Рассмотрим два ряда распределения относительного признака – скорости и определим в каждом случае среднюю скорость.

v
t

Автомобиль ехал два участка со скоростями 50, 80 км/час в течение 1 и 4 часов соответственно.

v
S

Автомобиль ехал со скоростями 50, 80 км/час два участка длиной 100 и 80 км соответственно.

В общем случае формулы расчета называются формулами средних арифметического и гармонического.

x	x1	x2	...	xn
f	f1	f2	...	fn

Выбор формулы зависит от связи двух признаков. Если она обратная, используется первая формула, прямая – то вторая. Например, по цене 100 руб./шт. было продано товара на 1000 руб., по 105 – на 2100, по 140 – на 2800. Определить среднюю цену.

Цена, руб./шт.
Сумма, руб.

Связь прямая: , значит, используется формула среднего гармонического (=118).

Среднее геометрическое

Рассмотрим относительную величину: рост признака = стало / было.

В первый раз значение признака увеличилось в 2 раза, во второй – в 18 раз. Во сколько раз в среднем происходит увеличение? Если воспользоваться формулой среднего арифметического, n = (18+2)/2 = 10. Но в таком случае за два раза прирост составил бы 10 ´ 10 = 100 раз, а по условию 2 ´ 18 = 36. Здесь решением будет , действительно, 6 ´ 6 = 36.

В общем случае, если признак последовательно увеличивался в x₁, x₂,...x_n раз, то средний прирост может быть получен по формуле среднего геометрического: