Тема 30. Элементы исследования операций

Математическое моделирование – основа выработки решений. Основные определения и задачи линейного программирования. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Геометрический и симплексный методы решения задачи линейного программирования. Теория двойственности. Дискретное, динамическое и нелинейное программирование.

Практическое занятие №1. Решение задач линейного программирования графоаналитическим методом.

Практическое занятие №2. Симплексный метод. Решение задач.

Самостоятельная работа. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Нелинейное программирование.

Учебная литература. Основная: 7, 8. Дополнительная: 7, 9.

Раздел 15. Элементы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики

Тема 31. Комбинаторика. Основные понятия теории вероятностей

Элементы комбинаторики. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Аксиоматический подход к определению вероятности. Геометрические вероятности. Вероятностное пространство. Произведение и сумма событий, теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Повторение испытаний, схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Практическое занятие № 1. Применение формул комбинаторики.

Практическое занятие № 2. Непосредственное вычисление вероятности случайного события.

Практическое занятие № 3. Алгебра вероятностей, решение примеров.

Индивидуальное занятие. Решение комплексных задач по теме «Вероятность случайного события».

Самостоятельная работа. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей. Повторение испытаний.

Учебная литература. Основная: 1. Дополнительная: 6, 7, 8.

Тема 32. Случайные величины и способы их описания

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Функция и плотность распределения, числовые характеристики случайных величин. Одномерные и многомерные распределения вероятностей. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема.

Практическое занятие № 1. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Практическое занятие № 2. Способы описания одномерных и многомерных случайных величин.

Практическое занятие № 3. Предельные теоремы. Следствия из закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Индивидуальное занятие. Решение комплексных задач по теме «Одномерные распределения вероятностей».

Самостоятельная работа. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Сходимость по вероятности и предельные теоремы. Подготовка к контрольной работе.

Контрольная работа № 7.Вероятность и законы распределения.

Учебная литература. Основная: 1. Дополнительная: 6, 7, 8, 12.

Тема 33. Элементы теории случайных процессов

Определение случайного процесса и его характеристики. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Корреляционные функции и спектральные плотности. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.

Практическое занятие. Проверка и оценка в задачах со случайными процессами на примере решения задач экозащиты, безопасности и риска.

Самостоятельная работа. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.

Учебная литература. Основная: 1. Дополнительная: 6, 7, 8, 12.

Тема 34. Математическая статистика

Выборочный метод. Способы отбора выборочной совокупности. Объем выборки. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Статистическое оценивание параметров генеральной совокупности: точечные и интервальные оценки. Статистическая проверка гипотез. Классификация гипотез, статистические критерии, критические области.

Практическое занятие № 1. Статистические оценки параметров распределения.

Индивидуальное занятие № 1. Решение комплексных задач по теме «Статистические оценки».

Практическое занятие № 2. Статистическая проверка статистических гипотез.

Индивидуальное занятие № 2. Решение комплексных задач по теме «Статистическая проверка гипотез».

Самостоятельная работа. Выборочные распределения и критерии для многомерных распределений. Проверка статистической гипотезы о закне распределения. Критерии Пирсона и Колмогорова. Подготовка к контрольной работе.

Контрольная работа № 8. Анализ данных выборочной совокупности. Учебная литература. Основная: 1. Дополнительная: 6, 7, 8, 12.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Семестр

1. Матрицы, операции над матрицами.

2. Определители второго и третьего порядков, их свойства.

3. Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера.

4. Обратная матрица, алгоритм ее нахождения.

5. Ранг матрицы, его вычисление.

6. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

8. Основные алгебраические структуры.

9. Векторы, линейные операции над ними.

10. Базис, координаты вектора.

11. Векторные пространства и линейные отображения.

12. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

13. Аксиомы булевой алгебры.

14. Булевы функции.

15. Общее уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и каноническое уравнение.

17. Различные способы задания прямой в пространстве.

18. Общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов.

19. Различные виды уравнений плоскости.

20. Типовые задачи на уравнение прямой и плоскости.

21. Общая теория кривых второго порядка.

22. Эллипс, его каноническое уравнение, свойства и параметры.

23. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры.

24. Парабола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры.

25. Понятие многомерного евклидова пространства.

26. Элементы топологии.

27. Поверхности второго порядка.

28. Основные понятия теории множеств.

29. Операции над множествами.

30. Функция, способы ее задания.

31. Функция натурального аргумента, ее предел.

32. Предел функции, свойства переменной, имеющей предел

33. Предел суммы, произведения, частного.

34. Основные виды неопределенностей и методы их раскрытия.

35. Классические пределы и их следствия.

36. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

Семестр

1. Производная, ее геометрический и физический смысл.

2. Дифференцирование суммы, произведения, частного.

3. Повторное дифференцирование.

4. Определение и геометрический смысл дифференциала.

5. Основные теоремы дифференциального исчисления.

6. Правило Лопиталя.

7. Формула Тейлора.

8. Исследование функций с помощью производных.

9. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.

10. Таблица неопределенных интегралов.

11. Интегрирование по частям и заменой переменной.

12. Наиболее употребительные подстановки.

13. Понятие и свойства определенного интеграла, его геометрический смысл.

14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

15. Формула Ньютона-Лейбница.

16. Интегрирование по частям и заменой переменной.

17. Физические приложения определенного интеграла.

18. Вычисление площади криволинейной трапеции.

19. Вычисление длины дуги кривой.

20. Вычисление объема тела вращения.

21. Вычисление площади поверхности вращения.

22. Определение несобственных интегралов, их свойства.

23. Несобственные интегралы первого и второго рода.

24. Определение и способы задания функций нескольких переменных.

25. Предел, непрерывность.

26. Частные производные и дифференциалы 1-го порядка.

27. Производные и дифференциалы высших порядков.

28. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

29. Понятие экстремума.

30. Необходимые и достаточные условия экстремума.

31. Условный экстремум.

32. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

33. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

34. Определение двойного интеграла.

35. Свойства двойного интеграла.

36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

37. Замена переменных в двойном интеграле.

38. Определение, свойства и вычисление тройного интеграла.

39. Замена переменных в кратных интегралах – общий случай.

40. Геометрические приложения кратных интегралов.

41. Механические приложения кратных интегралов.

42. Определение и свойства криволинейных интегралов 1 и 2 рода.

43. Классические методы оптимизации.

44. Функции спроса и предложения.

Семестр

1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация

2. Операции над комплексными числами.

3. Понятие функции комплексного переменного.

4. Понятие числового ряда. Сумма ряда. Определение сходимости ряда.

5. Свойства сходящихся числовых рядов.

6. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

7. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

10. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды.

11. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости степенного ряда.

12. Ряды Тейлора и Маклорена.

13. Понятие о тригонометрическом ряде.

14. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для -периодических функций.

15. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для четных и нечетных функций.

16. Физические задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

17. Определение обыкновенного дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения.

18. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Общие и частные решения, их геометрический смысл.

19. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

20. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.

22. Уравнение Бернулли, метод его решения.

23. Дифференциальные уравнения высших порядков. Определения, теорема существования и единственности, общие и частные решения.

24. Дифференциальное уравнение вида и метод его решения.

25. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

26. Линейные неоднородные дифференциального уравнения 2-го порядка.

27. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

28. Уравнения математической физики. Основные понятия.

29. Уравнение Лапласа. Формулировка краевых задач.

30. Основные понятия функционального анализа.

31. Линейные операторы.

32. Численное решение алгебраических уравнений.

33. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации

34. Основные определения и задачи линейного программирования.

35. Симплексный метод.

Семестр

1. Элементы комбинаторики.

2. Понятие случайного события.

3. Классификация случайных событий.

4. Определение вероятности, ее свойства.

5. Ограниченность классического определения вероятности.

6. Геометрические вероятности.

7. Статистическая вероятность

8. Аксиоматический подход к определению вероятности.

9. Произведение и сумма событий.

10. Теоремы сложения вероятностей.

11. Теоремы умножения вероятностей.

12. Формула полной вероятности.

13. Формула апостериорной вероятности Байеса.

14. Повторение испытаний. Схема Бернулли.

15. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

16. Понятие случайной величины.

17. Дискретные и непрерывные случайные величины.

18. Способы задания случайных величин.

19. Биномиальное распределение.

20. Распределение Пуассона.

21. Функция распределения.

22. Плотность распределения.

23. Свойства функций распределений.

24. Числовые характеристики случайных величин.

25. Вероятностный смысл числовых характеристик.

26. Равномерное и показательное распределения.

27. Нормальное распределение Гаусса.

28. Понятие случайного процесса, типы случайных процессов.

29. Действия над случайными процессами.

30. Статистика и измерения случайного процесса.

31. Предмет и задачи математической статистики.

32. Генеральная совокупность и выборка.

33. Статистический ряд.

34. Статистические оценки параметров распределения, функция распределения.

35. Числовые характеристики статистического распределения.

36. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

37. Построение доверительного интервала при неизвестном законе генерального распределения.

38. Доверительный интервал для нормального распределения.

39. Доверительный интервал при распределении Стьюдента.

40. Статическая проверка статистических гипотез: понятие и виды гипотез.

41. Проверка гипотез по критерию Пирсона и критерию Колмогорова.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / В.Е. Гмурман. 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов Вуза).

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для втузов. Т. 1 / Н.С. Пискунов. – изд., стер. – М.: «Интеграл Пресс», 2007. – 416 с. (Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов Вуза).

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для втузов. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – изд., стер. – М.: «Интеграл Пресс», 2007. – 544 с. (Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов Вуза).

4. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений).

Дополнительная:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для вузов. – 5-е изд. – М.: Наука, 1984. – 320 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы: учебное пособие / Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. МГУ – 6-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2008. – 636 с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей).

3. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учебное пособие /Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович и др – М.: Наука, 1987. – 496 с.

4. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебный курс / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 8-е изд., испр. и доп.. – М.: Наука, 1973. – 720 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов. – 3-е изд. – М.: Наука, 1989. – 464 с. (Допущено Министерством высшего и среднего образования СССР в качестве учебника для студентов инженерно-технических специальностей вузов).

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 10-е изд., стер. – М.: «Академия», 2005. – 576 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учебное пособие для вузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 480с. (Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений).

8. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике: учебное пособие. – 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.

9. Кремер Н,Ш, Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 551 с.

10. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 400 с.

11. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменной. Гармонический анализ.: Учебник – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 424 с.

12. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика: учебное пособие / В.И. Лебедев. – 4-е изд., испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 – 296 с.

13. Методы прикладной математики в пожарно-технических задачах. Под ред. Брушлинского Н.Н. М.: ВИПТШ, 1983.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

15. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. Учебник для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002 – 240 с.

16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 1. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 680 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 864 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 3. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. – 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003 – 728 с. (Рекомендован Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений).

19. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – М.: Техносфера, 2003. – 320 с. (Допущено УМО вузов Российской Федерации в области прикладной математики в качестве учебного пособия для высших учебных заведений).

20. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.