Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Спонтанное и вынужденное излучение. Лазеры

В начале 60-х годов был создан квантовый генератор оптического диапазона - лазер “Light Amplification by Stimulatedemission of Radiation” - усиления света путем индуцированного испускания излучения. Свойства лазерного излучения: высокая монохроматичность (предельно высокая световая частота), острая пространственная направленность, огромная спектральная яркость.

Согласно законам квантовой механики, энергия электрона в атоме не произвольна: она может иметь лишь определенный (дискретный) ряд значений Е₁, Е₂, Е₃... Е_n, называемых уровнями энергии. Значения эти различны для разных атомов. Набор дозволенных значений энергии носит название энергетического спектра атома. В нормальных условиях (при отсутствии внешних воздействий) большая часть электронов в атомах пребывает на самом низком возбужденном уровне Е₁, т.е. атом обладает минимальным запасом внутренней энергии; остальные уровни Е₂, Е₃.....Е_n соответствуют более высокой энергии атома и называются возбужденными.

При переходе электрона с одного уровня энергии на другой атом может испускать или поглощать электромагнитные волны, частота которых n_mn = (Е_m - Е_n)h,

где h - постоянная Планка (h = 6.62 · 10^-34 Дж·с);

Е_n - конечный, Е_m - начальный уровень.

Возбужденный атом может отдать свою некоторую избыточную энергию, полученную от внешнего источника или приобретенную им в результате теплового движения электронов, двумя различными способами.

Всякое возбужденное состояние атома неустойчиво, и всегда существует вероятность его самопроизвольного перехода в более низкое энергетическое состояние с испусканием кванта электромагнитного излучения. Такой переход называют спонтанным (самопроизвольным). Он носит нерегулярный, хаотический характер. Все обычные источники дают свет в результате спонтанного испускания.

Таков первый механизм испускания (электромагнитного излучения). В рассмотренной двухуровневой схемеиспускания света никакого усиления излучения добиться не удастся. Поглощенная энергия hn выделяется в виде кванта с той же энергией hn и можно говорить о термодинамическом равновесии: процессы возбуждения атомов в газе всегда уравновешены обратными процессами испукания.

Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц за­дается с помощью так называемых чисел заполненияN_i — чисел, указывающих сте­пень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i кван­товых чисел) частицами системы, состоя­щей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозона­ми — частицами с нулевым или целым

спином, числа заполнения мо­гут принимать любые целые значения: О, 1, 2, ... . Для систем частиц, обра­зованных фермионами — частицами с по­луцелым спином, числа запол­нения могут принимать лишь два значе­ния: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел за­полнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <N_i>.

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ— описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна.Распределение бозо­нов по энергиям вытекает из так называе­мого большого канонического распределе­ния Гиббса(с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

Это распределение называется распреде­лением Бозе — Эйнштейна.Здесь <Ni> — среднее число бозонов в квантовом со­стоянии с энергией E_i, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая тем­пература, m — химический потенциал;m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех <N_i> равна полному числу частиц в системе. Здесь m£0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрица­тельно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой стати­стикой Ферми — Дирака.Распределение фермионов по энергиям имеет вид

где <N_i>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией E_i, m — химический потенциал. В отличие от m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицатель­ным значениям чисел <N_i>). Это распреде­ление называется распределением Фер­ми — Дирака.