Показатели частного влияния фактора на результат

К показателям частного влияния фактор на результат относятся:

1) Частные коэффициенты эластичности Э_j, которые рассчитываются по формуле: (j=1;m), где - среднее значение фактора х_j; -среднее значение результата - y. Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат y с увеличением признака-фактора х_j на один процент от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости Э_j рассчитываются по формуле: , где _j – коэффициент регрессии при j–ом факторе.

Для нашего примера:

Э_х1=4,19·2,325/31,67=0,31(%), т.е. с увеличением численности населения в торговой зоне на 1%, объем продаж в среднем возрастает на 0,31% при условии, что расстояние до центра зафиксировано;

Э_х2=-0,92·8,12/31,67=-0,24(%), т.е. с увеличением расстояния от магазина до центра на 1%, объем продаж в среднем снижается на 0,24% при условии, что численность населения зафиксирована.

Так как │Э_х1│>│Э_х2│, то х1 более существенно влияет на результат, чем х2.

2) Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - b-коэффициенты, которые показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения s_у изменится признак-результат -y с увеличением соответствующего фактора x_j на величину своего среднего квадратического отклонения (s_хj) при неизменном влиянии прочих факторов модели. Коэффициент b_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияет на результат через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: , где m- число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат, равное сумме прямого и косвенного влияний, измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – r_xj,y.

Частные коэффициенты эластичности и стандартизованные частные коэффициенты регрессии можно использовать для ранжирования факторов по силе влияния на результат. Чем больше величина Э_j или b_j, тем сильнее влияет фактор х_j на результат y. По коэффициентам эластичности и b-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

3) Коэффициенты частной корреляции.Во множественном регрессионном анализе возникает проблема определения тесноты связи между двумя признаками в чистом виде - при устранении воздействия других факторов. Нам под силу исключить влияниетолько учтенных в модели факторов. Показателем «чистого» влияния фактора на результат при устранении влияния прочих факторов, включенных в модель регрессии, является частный коэффициент корреляции – r _{y,xj/ x1,x2,…xj-1,xj+1,…,xm}.

Пусть исследовалась зависимость y=f(x₁,u₁), для которой остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия равна:

e*²_y(x1)= .

Включив в уравнение регрессии дополнительный фактор х₂, т.е. найдя зависимость y=f(x₁, x₂,u₁₂), мы получим остаточную дисперсию результата:

e*²_y(x1x2)= , которая будет не больше e*²_y(x1).

Сокращение остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в уравнение регрессии фактора х₂ составит: e*²_y(x1)-e*²_y(x1х2). Чем выше доля этого сокращения в исходной дисперсии, т.е. чем выше соотношение (e*²_y(x1)-e*²_y(x1х2))/ e*²_y(x1), тем теснее связь между y и х₂ при постоянном действии х₁.

Корень квадратный из этой величины и есть коэффициент частной корреляции результата со вторым фактором при постоянном действии первого фактора : .

Аналогично можно определить коэффициент частной корреляции результата с первым фактором при постоянном действии второго фактора: .

В общем виде тесноту связи y и х_m+1 в модели, содержащей m факторов, можно оценить по следующей формуле:

(в обозначении коэффициента частной корреляции после знака «/» перечисляются те факторы модели, влияние которых устраняется).

Рассмотренные частные коэффициенты корреляции являются коэффициентами частной корреляции первого порядка. Порядок частного коэффициента корреляции определяется числом факторов, влияние которых исключается. Для коэффициента парной корреляции r_yx порядок равен 0.

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции. Для двухфакторной модели регрессии можно вычислить следующие коэффициенты частной корреляции первого порядка:

(фактор x₂ фиксирован);

(фактор x₁ фиксирован).

Можно рассчитать также коэффициент частной корреляции, измеряющий тесноту связи между х₁ и х₂ при фиксации признака-результата y:

Для трехфакторной модели регрессии можно рассчитать частные коэффициенты корреляции 2-ого порядка:

и т.д.

Если рассматривается регрессия с числом факторов m, то возможны частные коэффициенты корреляции не только первого, но и второго , ..., (m-1-ого порядка:

На практике наибольший интерес представляют частные коэффициенты корреляции самого высокого порядка.

Данные формулы для расчета частных коэффициентов корреляции j-ого порядка через коэффициенты частной корреляции (j-1)-ого порядка называются реккурентными.

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по реккурентным формулам, изменяются от –1 до +1, а рассчитанные через коэффициенты детерминации (или остаточные дисперсии), изменяются от 0 до 1. Чем ближе к единице модуль частного коэффициента корреляции, тем теснее связь фактора с результатом при устранении влияния прочих факторов, включенных в модель регрессии.

Частные коэффициенты корреляции используются не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях r_{yxm/x1,x2…xm-1} нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. коэффициент множественной детерминации увеличится незначительно).

Значимость частных коэффициентов корреляции также как и парных коэффициентов корреляции проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение находится по формуле:

,

где r – оценка частного коэффициента корреляции;

k – порядок частного коэффициента корреляции.

Критическое значение находится по таблицам Стьюдента в зависимости от уровня значимости - α и от числа степеней свободы (n-k-2): t_кр(α,n-k-2).

Квадрат частного коэффициента корреляции - частный коэффициент детерминации. Коэффициенты частной детерминации не могут быть сравнимы, т.к. представляют собой доли от разных величин.

Для нашего примера рассчитаем частные коэффициенты корреляции и сделаем выводы.

; .

Оценим их значимость:

;

t_кр(α=0,5,12-1-2=9)=2,26.

Так как , то частный коэффициент можно считать значимым с вероятностью 0,95. Аналогично, оказывается значимым и частный коэффициент , так как .