Дискретный вариационный ряд. Полигоном частот

Распределением c2

Распределением c2 (n) с nстепенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин, т.е. c2 (n) =U1(внизу) 2(вверху)+U2 (внизу и вверху)+ ...+ (внизу)2(вверху). Очевидно, что c2 (n) ³ 0.На практике, как правило, используют квантили распределения c2 (n). Квантилью распределения c2 (n) , отвечающей уровню значимости a , называют такое значение

при котором

Распределением Фишера

Распределением Фишера (F -распределением) с n1и n2 степенями свободы называется распределение случайной величины

F (n1, n 2) = (x2(n1):n1)/(x2(n2):n2) При n®¥ F -распределение стремится к нормальному закону. Числовые характеристики:

M (F (n1, n2))=, n2 > 2;

На практике используют квантили F -распределения F a(n1,n 2) :

Распределением Стьюдента

Распределением Стьюдента (t -распределением) с n степенями свободы называется распределение случайной величины

На практике используют квантили t –распределения t a/2(n):

Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова.Если СВ X может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была положительная величина x > 0 той же размерности, что и X , всегда выполняется неравенство:

P(X < x)>= 1-M(X)/ x.

Неравенство Чебышева.Если СВ X имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого e > 0 выполняется неравенство Чебышева:

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева.Если случайные величины X1 , X2 , …, X n … попарно независимы и каждая из них имеет математическое ожидание M(X k ) и дисперсию D(X k ) ( k =1,2,...), причем существует такое число C > 0 , что D (X k) < C ( k =1,2,...), то для любого e > 0 т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли.Если вероятность появления события A

в одном испытании равна p , число наступлений этого события при n независимых испытаниях равно m, то для любого числа e > 0 имеет месторавенство т.е. относительная частота события сходится по вероятности к вероятности этого события.

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Пусть случайные величины X1, X2 , …, Xn– независимые случайные

величины, у каждой из которых существует математическое ожидание

M(Xk ) = akи дисперсия D (Xk) = s2(вверху) k(внизу) , абсолютный центральный момент третьего порядка и то закон распределения суммы при n®¥ неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией

Дискретный вариационный ряд. Полигоном частот.

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная (упорядоченная по возрастанию) совокупность вариантов xi с соответствующими им частотами ni или частостями wi .Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых. Полигон относительных частотстроится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .