Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Составил доцент Троицкий Е.И

Заполнил (а) студент (ка) ___ группы ___________________ факультета, специальности _________________________ (Ф.И.О.) ___________________________

Вариант № ____

Задание № 1. Группировка и статистический анализ выборки для случайной величины Х непрерывного типа.

Замечание. Случайная величина Х в «Математической статистике» называется чаще признаком Х генеральной совокупности.

Условие задания № 1. По выборке объёма n = __ исследуется случайная величина непрерывного типа Х – ________________________________________

____.

Выборочные данные помещены в таблицу 1 на следующей странице.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Сгруппировать выборочные данные в интервальный вариационный ряд частот. Изобразить вариационный ряд графически, построив гистограмму частот.

2. Вычислить по сгруппированным данным точечные оценки параметров распределения: выборочную среднюю Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , выборочную дисперсию Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

3. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х на уровне значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , применяя критерий согласия Пирсона.

4. Считая исходный набор данных генеральной совокупностью, подчиняющейся закону нормального распределения, сделать из этой совокупности репрезентативную выборку объёма n = 10, для которой:

а) вычислить точечные оценки параметров распределения: выборочную среднюю Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , выборочную дисперсию Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , исправленную выборочную дисперсию Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и сравнить их с соответствующими характеристиками генеральной совокупности, визуально оценивая близость и различие характеристик и их оценок;

б) найти доверительные интервалы для генеральной средней с доверительной вероятностью Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =0,95 при условиях известной и неизвестной дисперсии и проверить, накрывают ли эти интервалы генеральную среднюю;

в) найти доверительный интервал для генеральной дисперсии с доверительной вероятностью Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =0,95 и проверить, накрывает ли этот интервал генеральную дисперсию.

Решение. Поместим исходные данные в таблицу 1:

Таблица 1

Исходные выборочные данные для случайной величины Х

                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

1. Для непрерывной случайной величины Х (для признака Х) по результатам выборки составляется интервальный вариационный ряд. Для этого весь диапазон изменения выборочных данных – размах вариации Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru – накрывается совокупностью 5 Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru 8 полузамкнутых интервалов Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru или Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru (по нашему произволу) Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru одинаковой длины h так, чтобы значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находилось приблизительно посередине первого интервала, а значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находилось в последнем интервале. Эту длину рекомендуется вычислять по следующей формуле Стерджеса, округляя h до удобного для дальнейших вычислений значения: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Значения десятичных логарифмов помещены в следующей таблице:

n
lg n 1,60 1,70 1,78 1,85 1,90 1,95 2,04 2,08

В нашей задаче Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =_____, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =_____, n = ___, поэтому, округляя результат вычислений формулы Стерджеса, возьмём h = _____. Определяем левый конец первого интервала Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = ______________. Затем определяем границы остальных интервалов Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и т.д., пока значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru не окажется в интервале с номером Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , являющимся последним. Для разнесения данных из таблицы 1 по интервалам построим таблицу 2, в которой определим частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru попадания выборочных данных в интервалы (частота Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru - это число значений признака Х, попавших в интервал с номером Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru ). Получим интервальный вариационный ряд частот.

Таблица 2

Разнесение выборочных данных по интервалам и подсчёт частот

i Интервалы Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Учётные «палочки» или «конвертики» Частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
     
     
     
     
     
     
     
     
      Контроль: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =
         

Количество интервалов оказалось равным т= ____. В таблице 2 следует осуществить контроль подсчёта частот: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , где n – объём выборки.

Если контроль оказался верным, переходим к следующим этапам работы, если же нет, то заполняем (исправляем) таблицу 2 повторно до выполнения контрольного равенства.

Графическим изображением интервального вариационного ряда, отражённого в таблице 2 служит гистограмма частот. Построим гистограмму частот на рисунке 1. Для этого на оси абсцисс откладываем отрезки, изображающие интервалы Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru изменения значений х случайной величины Х (признака Х). На этих отрезках как на основаниях строим прямоугольники с высотами, равными частотам Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Полученная фигура и называется гистограммой частот.

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

 
  Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

0 Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Рис. 1. Гистограмма частот интервального вариационного ряда.

Для наглядности рекомендуется использовать всю плоскость чертежа.

Первый пункт задания № 1 выполнен.

2. Пусть случайная величина Х (признак Х) имеет математическое ожидание М(X)= Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , дисперсию Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и среднеквадратичное отклонение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , при этом параметры Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru являются неизвестными. Очередной задачей математической статистики является точечная оценка этих параметров. Для решения этой задачи вычисляем середины интервалов Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , придаем им соответствующие частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru из интервального вариационного ряда.

Вычисляем середины интервалов Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , преобразуем таблицу 2 в таблицу 3, соединяя в ней интервальный вариационный ряд частот( первая и третья строки) и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот ( вторая и третья строки).

Таблица 3

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных

Интервалы [ci-1, ci)                
Середины интервалов Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru                
Частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru                

По полученному дискретному вариационному ряду частот вычисляем точечные оценки неизвестных параметров распределения признака Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Несмещённой, состоятельной и эффективной точечной оценкой математического ожидания Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru является выборочная средняя Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , которая вычисляется по формуле:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru ,

где т равно числу интервалов. Для нашей задачи n = ___, т= ____. При этом рекомендуется ( во избежание слишком больших погрешностей округлений) в результатах промежуточных вычислений брать на 2 знака после занятой больше, чем у исходных данных. Вычисляем:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Обязательно следует поместить значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru на ось абсцисс гистограммы ( на рис1.). При этом следует помнить смысл математического ожидания и его оценки Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru - это среднее взвешенное значений признака Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Посмотрите – является ли значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru «центром тяжести» гистограммы? Если уже визуально это не подтверждается, то дальнейшие вычисления бессмысленны. Рекомендуется этот этап вычислений согласовать с преподавателем и только после этого продолжать вычисления.

Выборочная дисперсия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru является немного смещённой, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Впрочем, для больших выборок Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru смещенность не играет роли. Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru можно рассчитать по одной из двух формул:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , (1)

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . (2)

Для малых выборок Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru следует пользоваться несмещённой эффективной и состоятельной оценкой дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , каковой является исправленная выборочная дисперсия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , связанная с выборочной дисперсией Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru следующим образом:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . (3)

Несмещённой эффективной и состоятельной оценкой среднеквадратичного отклонения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru является исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru как квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . (4)

Рассчитаем выборочную дисперсию для нашей задачи по обеим формулам (1) и (2). Сначала рассчитываем по формуле (1):

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Теперь рассчитываем выборочную дисперсию по формуле (2), вычисляя предварительно средний квадрат:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Видим, что результаты расчётов выборочной дисперсии по формулам (1) и (2) практически совпадают (возможное различие связано только с погрешностями вычислений). Итак, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _______.

Для визуального контроля следует учитывать правило трех сигм нормального распределения, т.е практически вся гистограмма должна укладываться в окрестности Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru радиуса трех Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Проверьте это на рис.1.

Итак, найдены оценки математического ожидания Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и среднеквадратичного отклонения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru :

Таблица 4

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

3. Если через середины верхних оснований прямоугольников гистограммы провести плавную линию, то получим графический аналог плотности вероятности признака Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . В пункте 3 на уровне значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Будем опираться на результаты группировки выборочных данных из пункта 2, которые отражены в таблице 3 и на рисунке 1. Проверка гипотезы основана на сравнении эмпирических (полученных ранее в таблице 3) частот Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и так называемых теоретических частот Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , которые рассчитываются в предположении выполнения гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами из таблицы 4:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____. (5)

Теоретические частоты рассчитываются по формуле Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , где Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru - вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , которая рассчитывается с помощью функции Лапласа Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru (см. таблицу 5) по следующей формуле:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , (6)

где Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru определяются выражениями (5). При этом при вычислениях по формуле (6) левый конец первого интервала следует отодвинуть на минус бесконечность, а правый конец последнего интервала отодвинуть на плюс бесконечность, полагая Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Процесс и результаты расчёта теоретических частот заносятся в таблицу 6, расположенную после таблицы 5, применяемой в расчётах слагаемых формулы (6).

Таблица 5

Значения функции Лапласа Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05   0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11   0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17   0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23   0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29   0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35   0,36 0,37 0,38 0,39 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199   0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438   0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675   0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910   0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141   0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368   0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45   0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51   0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57   0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63   0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69   0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75   0,76 0,77 0,78 0,79 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736   0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950   0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157   0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357   0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549   0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734   0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85   0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91   0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97   0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03   1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09   1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15   1,16 1,17 1,18 1,19 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023   0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186   0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340   0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485   0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621   0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749   0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25   1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31   1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37   1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43   1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49   1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55   1,56 1,57 1,58 1,59 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944   0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049   0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147   0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236   0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319   0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394   0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

Таблица 5 (продолжение)

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66   1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72   1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78   1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515   0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573   0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625   0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91   1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97   1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06   2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,19 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719   0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756   0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803   0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32   2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44   2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56   2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898   0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927   0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948   0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82   2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94   2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60   3,80 4,00 4,50 5,00 Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976   0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984   0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841   0,499928 0,499968 0,499997 0,49999997 0,5  

Примечание. Функция Лапласа обладает свойством нечётности: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Таблица 6

Расчёт теоретических частот Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru с помощью формулы (6) и таблицы 6

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru   Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru   Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru   Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru   Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =n Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
    Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru     Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru     Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru      
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
    Контроль: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Замечания. 1. Левый конец первого интервала отодвинут на минус бесконечность, т.е. Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Не забудьте и правый конец последнего интервала отодвинуть на плюс бесконечность, полагая Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и учитывая, что Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

2. Следует проверить, что сумма вероятностей равна 1, а сумма теоретических частот равна объёму выборки n=____. Если приближённое равенство не выполняется, то следует проверить все расчёты в таблице 6 снова. Небольшое расхождение возможно вследствие неправильного округления ( округлить правильно!)

Соединим эмпирические частоты из таблицы 3 и теоретические частоты из таблицы 6 в следующей таблице 7.

Таблица 7 Теоретические и эмпирические частоты для интервалов равной длины

  Интервалы [ci-1, ci)                  
Эмпирические частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru                
Теоретические частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru                

На рисунке 1 была изображена гистограмма частот, которые теперь названы эмпирическими. Перенесём эту гистограмму на рисунок 2 и построим на этом же рисунке также гистограмму теоретических частот, например, пунктирной линией или линией другого цвета. На рисунке 2 с данными из таблицы 7 качественно видно насколько велико или мало расхождение эмпирических и теоретических частот.

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

0 Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Рис. 2. Гистограммы эмпирических (сплошная линия) и теоретических (пунктирная линия) частот интервального вариационного ряда.

Для количественной оценки применим критерий согласия Пирсона, подчиняющийся закону распределения хи-квадрат с числом степеней свободы k=m-l-1, где l – число параметров распределения (l=2 для нормального закона, т.е. Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . (7)

Необходимо учесть следующее условие применимости критерия Пирсона: малочисленные частоты ( Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru <5) следует присоединить к частотам соседних интервалов. В этом случае соответствующие теоретические частоты также складывают, а при определении числа степеней свободы k=m-3 в качестве т следует принять число групп (интервалов), получившихся после объединения. Таким образом, преобразуем таблицу 7 в таблицу 8.

Таблица 8

Эмпирические и теоретические частоты после объединения

интервалов с малочисленными частотами

Эмпирические частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru            
Теоретические частоты Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru            

Теперь по формуле (7) и по данным таблицы 8 вычисляем наблюдаемое значение критерия:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

Итак, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru ______. Далее по таблице 9 распределения хи-квадрат для числа степеней свободы k=m-3=____ и уровня значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находим из условия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru критическое значение критерия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____.

Поскольку Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru < Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru / Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru > Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru (ненужное зачеркнуть), то гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, принимается / отвергается (ненужное зачеркнуть).

4. В этом пункте демонстрируется выборочный метод. Во-первых, исходный набор данных в таблице 1 считается теперь не выборкой, а некоторой генеральной совокупностью. Во-вторых, предполагается, что эта совокупность подчиняется закону нормального распределения с параметрами из таблицы 4: математическим ожиданием Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____, дисперсией Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =_____ и среднеквадратичным отклонением Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____.

Далее из этой генеральной совокупности нужно извлечь выборку объёма n = 10. Как известно, главным требованием, обеспечивающим репрезентативность (представительность) выборки является случайность попадания значений случайной величины в выборку. Воспользуемся для этого таблицей случайных чисел:

Выберем наугад какую-нибудь строку таблицы. По номерам этой строки выбираем данные из таблицы 1, нумеруя эти данные по строкам сверху вниз. При этом если номер из таблицы случайных чисел будет больше объёма данных n, то пропускаем этот номер и переходим к следующему.

Итак, в выборку объёма n = 10 попали следующие значения:

                   

4 а). По полученной малой выборке вычислим точечные оценки параметров распределения: математического ожидания Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____, дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =______ и среднеквадратичного отклонения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____.

Оценкой генеральной средней будет выборочная средняя:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Оценкой генеральной дисперсии будет исправленная выборочная дисперсия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , для нахождения которой предварительно вычислим выборочную дисперсию по формуле (2) как Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Сначала вычислим средний квадрат:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Затем вычисляем выборочную дисперсию:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

Наконец, вычисляем исправленную выборочную дисперсию

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

и исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Окончательно получаем:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Видим, что полученные оценки несколько отличаются от истинных значений параметров из таблицы 4:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Теперь предстоит оценить точность, с которой получены эти оценки. Это осуществляется с помощью нахождения доверительных интервалов.

4 б). Сначала найдём доверительный интервал I для математического ожидания Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru при известной дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru с доверительной вероятностью Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =0,95. Он находится с помощью закона нормального распределения, имеет вид I= Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и определяется равенством Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , где Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находится по таблице 5 для стандартной функции Лапласа Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru из условия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Для Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =0,95 находим по таблице 5 Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =1,96 (проверьте это!). Точность оценки Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru равна Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____. Проводим оставшиеся вычисления:

I= Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Заметим, что истинное значение генеральной средней Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =____ оказалось внутри/вне (ненужное зачеркнуть) доверительного интервала I Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Рассмотрим теперь другую ситуацию: генеральная дисперсия Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru нам не известна. Введём уровень значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Тогда доверительный интервал находится уже с помощью t-распределения Стьюдента с числом степеней свободы Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =10–1=9 и имеет вид:

I= Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru ,

где значение Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находится по таблице распределения Стьюдента. Точность оценки Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru равна Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru _____. Заметим, что оценка в этом случае оказалась менее точной, чем в ситуации с известной дисперсией, что связано с потерей информации о генеральной совокупности (дисперсия оказалась неизвестной).

Вычисляем границы доверительного интервала:

I= Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Заметим, что истинное значение генеральной средней Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =____ оказалось внутри/вне (ненужное зачеркнуть) доверительного интервала I Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

4 в). Доверительный интервал для неизвестной дисперсии по выборке объёма n = 10 имеет вид:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru ,

где числа Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находятся по таблицам распределения случайной величины Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru - хи-квадрат с числом степеней свободы Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =10–1=9 из условий

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Таблица 9

Фрагмент таблицы распределения Пирсона хи-квадрат.

Значения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru для вероятностей Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

k Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
0,975 0,0398 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700
0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,839 14,449 16,013 17,535 19,023
0,05 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919

По фрагменту таблицы распределения хи-квадрат, приведённому в таблице 9, находим Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =2,7 и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =19,023 и получаем доверительный интервал для неизвестной генеральной дисперсии:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Заметим, что истинное значение генеральной дисперсии Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =____ оказалось внутри/вне (ненужное зачеркнуть) доверительного интервала I Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Задание № 2. Однофакторный дисперсионный анализ.

Условие задания № 2.

Таблица 10

Уровни фактора Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru Номер испытания Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru (повторности) Групповые средние Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru
                 
                 
                 
                 
                 

Впишем в таблицу 10 выборочные данные испытаний на данных уровнях фактора (лишние клетки не заполняем).

Однофакторный дисперсионный анализ исследует влияние одного фактора Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , имеющего Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru уровней Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , на математическое ожидание Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru (среднее значение) случайной величины Х. Значения случайной величины Х получают на каждом уровне фактора в группе из Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru испытаний. Номер испытания в группе обозначим целой переменной Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Таким образом, выборочные данные Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru характеризуются двумя индексами.

Группа измерений на уровне фактора Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru имеет групповую выборочную среднюю Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , или кратко групповую среднюю. Общая средняя вычисляется по формуле Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Вычисляем групповые средние (по строчкам таблицы 10) и вносим их в таблицу 10 (здесь и далее лишние заготовки формул не заполняйте):

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Вычисляем общую среднюю:

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Видим, что групповые средние разных уровней отличаются друг от друга. Это различие может носить чисто случайный характер или же отражать влияние уровней фактора. Выразим нулевую гипотезу Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru словесно так: изменчивость групповых средних имеет чисто случайный характер, и влияние фактора несущественно на данном уровне значимости.

Для построения критерия рассматривается полная сумма квадратов отклонений выборочных данных от общей средней Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Имеет место формула Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , где Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Сумма Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru называется рассеиванием по уровням фактора, т.е. характеризует изменчивость выборочных данных исключительно из-за влияния уровней фактора Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Сумма Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru называется остаточным рассеиванием и характеризует изменчивость выборочных данных из-за влияния чисто случайных, неучтённых факторов. В сравнении этих влияний и состоит суть дисперсионного анализа.

Сравнение осуществляется с помощью отношения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , которое для нормальной случайной величины Х является случайной величиной, распределённой по закону Фишера-Снедекора с числом степеней свободы числителя Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и числом степеней свободы знаменателя Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Продолжим вычисления. Вычислим сумму Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru : Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

=

Вычислим сумму Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , (лишние заготовки не заполняем): Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

           
           
           
           

Суммы Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru удобно вычислять также по следующим упрощённым формулам, которые аналогичны формуле (2) при вычислении выборочной дисперсии в пункте 2 задания 1: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , где Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru . Вычисляем: Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = ,

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = , Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru = .

Значения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru совпали с рассчитанными ранее значениями. Итак, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =_______, Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =_______. Теперь вычисляем наблюдаемое значение критерия

Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru .

Далее по таблицам F-распределения Фишера-Снедекора для числа степеней свободы числителя Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =___ и числа степеней свободы знаменателя Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru =____ и уровня значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru находим критическое значение критерия. Приведём некоторые извлечения из таблиц F-распределения при наиболее часто встречающихся значениях Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru и Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru в таблице 11.

Таблица 11

Критические значения Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru распределения Фишера-Снедекора

на уровне значимости Интервальный и соответствующий ему дискретный вариационный ряд частот для выборочных данных - student2.ru

Наши рекомендации