Задание 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Самостоятельное выполнение студентами заданий является одним из важнейших условий усвоения математической статистики.

Предлагаемые методические указания составлены таким образом, чтобы студент, пользуясь ими, решил самостоятельно поставленные перед ним задачи.

Методические указания включают четыре задания по математической статистике: «Статистическое распределение», «Проверка статистических гипотез», «Корреляция», «Метод наименьших квадратов».

Построение каждого задания следующее. Вначале сформулировано само задание. Затем дается решение типового примера на конкретных данных выборки объема 100. Приведены формулы, расчеты, чертежи. Сделаны соответствующие выводы.

Выполнение задания «Метод наименьших квадратов» предполагается на ЭВМ. Дана программа и образец распечатки результатов для отчетности студента.

В приложениях кроме таблиц функции Лапласа и критерия согласия Пирсона (приложения 1,2) даны таблицы данных эффективности сельскохозяйственного производства для выполнения заданий, по которым можно выдать необходимое количество вариантов.

Приложение 3 содержит практический материал для заданий 1–3, приложение 4 – для задания 4.

Методические указания составлены для студентов экономических специальностей, однако могут быть использованы студентами всех факультетов.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. Минск: Выш.шк., 1992.

2. М а ц к е в и ч И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид. Минск: Выш.шк., 1993.

3. К р а с с М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. 2-е изд., испр. М.: Дело, 2001.

4. Г у с а к А.А. Высшая математика. Т. 2 / А.А. Гусак. Минск: Тетра Системс, 2000.

5. Б е л ь к о И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи: учеб. пособие/ И.В. Белько, Г.П. Свирид; под ред. К.К.Кузьмича. 2-е изд., стер. Минск: Новое знание, 2004.

6. П и с ь м е н н ы й Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т.Письменный. М.: Айрис – пресс, 2004.

7. Г р и н б е р г А.С. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций/ А.С. Гринберг, О.Б. Плющ, Б.В. Новыш . 3-е изд. доп. Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2005.

Задание 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

По статистическим данным случайных величин (СВ) Х и У требуется:

1) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей;

2) построить гистограмму и полигон частостей;

3) составить эмпирические функции распределения F*(x) и F*(y), поcтроить их графики;

4) вычислить числовые характеристики выборки: среднюю выборочную , дисперсию выборочную ( , среднее квадратическое выборочное отклонение ( , асимметрию и эксцесс Аs(Х) (Аs(У)), выборочный коэффициент вариации V(Х) (V(У)).

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на примере статистических данных (табл. 1) , где СВ Х – стоимость основных производственных фондов ( y.е/га) , СВ У – стоимость валовой продукции (y.е/га).

1. Изучение непрерывной случайной величины ( НСВ) начинается с группировки статистического материала, т.е. с разбиения интервала наблюденных значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюденных значений СВ Х в частичные интервалы. Количество интервалов можно выбирать произвольно, их число обычно бывает не менее 5 и не более 15. Можно для определения числа интервалов использовать формулу

где n – объем выборочной совокупности. При объеме выборки n = 100 имеем Далее определяют размах вариации R, длину интервала наблюденных СВ Х, , где – наименьшее значение СВ Х, – наибольшее ее значение.

Определив размах вариации, определяют ширину частичного интервала. Ширина частичного интервала должна способствовать выявлению основных черт распределения и сглаживанию случайных колебаний признака в выборочной совокупности.

Т а б л и ц а 1. Статистические данные

№ п.п.	X	У	№ п.п.	X	У	№ п.п.	X	У
	0,73	0,60		1,48	1,50		0,68	0,53
	0,82	0,61		1,39	1,48		0,89	0,82
	0,89	0,95		0,96	0,89		1,27	1,40
	1,79	1,22		1,29	1,25		1,33	1,29
	1,41	0,88		0,96	0,81		0,92	0,65
	0,80	0,58		1,28	1,17		0,93	0,58
	0,83	0,50		1,53	1,42		1,16	0,80
	0,57	0,70		1,68	1,81		1,04	0,93
	1,15	0,77		1,43	1,51		0,98	0,62
	1,41	1,41		0,99	1,17		0,88	1,09
	1,35	0,92		1,19	0,95		1,39	1,44
	0,97	0,56		1,05	0,98		1,21	1,12
	0,92	0,67		0,94	0,79		1,06	1,33
	0,78	0,58		0,87	0,91		0,80	0,90
	0,97	0,87		1,22	1,10		0,92	0,61
	1,13	1,25		1,29	1,23		1,08	0,63
	1,16	1,05		1,10	0,99		0,98	0,89
	1,27	1,01		1,07	0,87		1,10	1,02
	0,93	0,94		1,20	1,11		0,74	0,68
	1,12	0,88		0,97	1,10		1,12	0,75
	1,24	1,15		1,34	1,08		0,95	0,89
	1,04	0,93		1,54	1,40		1,06	0,92
	0,95	0,60		1,28	1,51		0,72	0,58
	0,96	0,69		1,20	0,86		1,21	1,13
	1,08	0,69		0,99	0,62		0,83	0,67
	1,27	0,84		0,85	0,56		0,91	0,78
	1,81	1,04		0,80	0,83		0,98	0,66
	1,79	1,13		1,07	0,75		1,20	0,94
	1,33	1,20		0,94	0,88		0,94	0,59
	1,05	1,10		0,88	0,93		1,02	0,86
	0,85	0,70		1,36	1,16
	0,99	0,75		1,24	1,39
	1,12	0,99		0,89	0,77
	0,89	0,58		0,77	0,83
	0,85	0,67		1,10	0,74

При построении частичных интервалов рекомендуется за начало первого интервала х₀ взять , где h – ширина частичного интервала, определяемая по формуле , тогда границы частичных интервалов находятся следующим образом:

х_о= х_min– , х₁=х_о + h, х₂=х₁ + h, …, .

В нашем случае, как определили ранее, k = 7, x_min=0,57, x_max=1,81, тогда R = x_max – x_min= 1,81– 0,57 = 1,24 и ширина частичного интервала есть . Если при нахождении h деление не выполняется нацело, то результат округляют в большую сторону.

Далее имеем и получаем

Если бы выражалось десятичной дробью с двумя знаками после запятой, то границы частичных интервалов имели бы такой же вид, и тогда при подсчете частот в каждый интервал включаются те значения СВ Х, которые больше нижней границы и меньше или равны верхней границе соответствующего частичного интервала. Сумма всех частот должна быть равна объему выборки, т.е. .

Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в табл. 2. В результате получили статистический ряд распределения частот.

Т а б л и ц а 2. Подсчет частот СВ Х

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ Х	0,465– 0,675	0,675– 0,885	0,885– 1,095	1,095– 1,305	1,305– 1,515	1,515– 1,725	1,725– 1,935
Подсчет частот	I	IIIIIIIII IIIIIIIII	IIIIIIIIII IIIIIIIIII IIIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII II	III	III
Частоты mi

Контроль:

Для получения статистического ряда частостей разделим частоты на объем выборки. В результате получаем интервальный статистический ряд распределения частостей. В табл. 3 представлен интервальный статистический ряд распределения частот и частостей СВ Х.

Т а б л и ц а 3. Интервальный статистический ряд распределения СВ Х

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ Х	0,465– 0,675	0,675– 0,885	0,885– 1,095	1,095– 1,305	1,305– 1,515	1,515– 1,725	1,725– 1,935
Частоты
Частости	0,01	0,18	0,38	0,26	0,11	0,03	0,03
–накопленные частости	0,01	0,19	0,57	0,83	0,94	0,97	1,00
	0,05	0,86	1,80	1,24	0,52	0,14	0,14

Контроль:

2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладывают частичные интервалы, на каждом из которых строят прямоугольник, площадь которого равна частости соответствующего частичного интервала. Полученная при этом ступенчатая фигура называется гистограммой частостей. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная ломаная линия образует полигон частостей.

На рис.1 изображены гистограмма и полигон частостей.

Рис. 1.

3. Значения эмпирической функции распределения F*(x) записаны в соответствующей строке табл. 3. Составим аналитическое выражение для эмпирической функции распределения F*(x).

Замечание. При построении графика эмпирической функции распределения ее значения относят к верхней границе частичного интервала. График эмпирической функции изображен на рис.2.

Рис. 2.

4. Числовые характеристики выборки найдем по формулам:

– средняя выборочная,

– дисперсия выборочная,

– выборочное среднее квадратическое отклонение,

–асимметрия,

– эксцесс,

– выборочный коэффициент вариации,

где х_i и m_i – соответственно середина и частота i-го интервала.

Составим табл. 4 для вычисления числовых характеристик СВ Х.

Т а б л и ц а 4. Вычисление числовых характеристик СВ Х

Интервалы наблюденных значений СВ Х	Середины интервалов хi	Частоты
0,465-0,675	0,57		0,57	– 0,5229	– 0,5229	0,2734	– 0,1429	0,0748
0,675-0,885	0,78		14,04	– 0,3129	– 5,6322	1,7622	– 0,6534	0,1728
0,885-1,095	0,99		37,62	– 0,1029	– 3,9102	0,4028	– 0,0418	0,0038
1,095-1,305	1,20		31,20	0,1071	2,7846	0,2990	0,0312	0,0026
1,305-1,515	1,41		15,51	0,3171	3,4881	1,1066	0,3509	0,1111
1,515-1,725	1,62		4,86	0,5271	1,5813	0,8334	0,4392	0,2316
1,725-1,935	1,83		5,49	0,7331	2,2113	1,6299	1,2015	0,8856
Cумма			109,29			6,3073	1,1847	1,4823

Аналогичным образом выполним это задание для СВ У – стоимость валовой продукции (у. е/га).

1. Составим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ У (табл. 5, 6).

.

.

Т а б л и ц а 5. Подсчет частот СВ У

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ У	0,39–0,61	0,61–0,83	0,83–1,05	1,05–1,27	1,27–1,49	1,49–1,71	1,71–1,93
Подсчет частот	IIIIIII IIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII II	IIIIIIIII IIIIIIIII	IIIIIIIII	III	I
Частоты mi

Контроль: .

Т а б л и ц а 6. Интервальный статистический ряд распределения СВ У

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ У	0,39–0,61	0,61–0,83	0,83–1,05	1,05–1,27	1,27–1,49	1,49–1,71	1,71–1,93
Частоты
Частости	0,14	0,26	0,29	0,18	0,09	0,03	0,01
–накопленные частости	0,14	0,40	0,69	0,87	0,96	0,99	1,00
	0,64	1,2	1,3	0,82	0,4	0,14	0,05

Контроль:

2. Построим гистограмму и полигон частостей СВ У (рис.3).

Рис. 3.

3. Составим эмпирическую функцию распределения и построим ее график (рис. 4).

Рис. 4.

4. Вычислим числовые характеристики выборки (табл.7) (