Точечное оценивание парных, частных и множественных коэффициентов связи

Апостериорную оценку корреляционной матрицы будем обозначать :

,

где выборочное значение коэффициента корреляции между i-ым и j-ым признаками рассчитывается по формуле , , .

Для расчета в матричном виде вводится в рассмотрение матрица центрировано-нормированных значений исходных признаков , где , , . Тогда апостериорная оценка корреляционной матрицы рассчитывается следующим образом:

.

Зная оценку ковариационной матрицы , оценку корреляционной матрицы можно рассчитать, разделив последовательно элементы i-ой строки и i-го столбца матрицы на , . Или в матричном виде:

.

Результаты расчета выборочных значений коэффициентов корреляции представлены на рисунке 6, где по каждой переменной выводится ее среднее значение, стандартное отклонение, а также коэффициенты корреляции.

Рисунок 6 – Результаты расчета корреляционной матрицы

На рисунке 7 представлены оценки коэффициентов корреляции и вероятности принятия гипотезы о незначимости коэффициентов.

Рисунок 7 – Оценки коэффициентов корреляции и вероятности принятия гипотезы о незначимости коэффициентов

В Приложении З для каждой переменной выведены ее среднее значение стандартное отклонение, объем выборочной совокупности, переменные сгруппированы в пары, для каждой из которых выводится коэффициент корреляции, его квадрат, наблюдаемое значение t-статистики , предназначенное для проверки гипотезы о незначимости коэффициента, вероятность принятия этой гипотезы , а также коэффициенты для линейного уравнения регрессии.

Анализируя выборочные значения коэффициентов корреляции, есть основания предполагать наличие:

прямой тесной зависимости между такими парами показателей, как cреднедушевые денежные доходы населения в месяц и среднемесячная номинальная начисленная заработная плата ( ); cреднедушевые денежные доходы населения в месяц и величина прожиточного минимума ( ; среднемесячная номинальная начисленная заработная плата и величина прожиточного минимума ( .

Прямой заметной связи между общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя и число собственных легковых авто на 1000 насел. ( .

Между остальными показателями предположительно наблюдается слабая зависимость.

Рассчитаем оценки частных и множественных коэффициентов корреляции.

Апостериорная оценка частного коэффициента корреляции между i-ым и j-ым признаками, очищенного от влияния остальных (k-2)-х компонент вектора , обозначается и рассчитывается по формуле:

,

где - алгебраическое дополнение к элементу с индексами (s, p) матрицы .

Апостериорная оценка множественного коэффициента корреляции для j-го признака обозначается и рассчитывается по формуле:

.

Апостериорная оценка коэффициента детерминации для j-го признака обозначается и рассчитывается по формуле:

,

где – обозначение апостериорной оценки остаточной дисперсии для j-го признака, рассчитываемой по формуле

Рисунок 9 – Результаты оценивания множественного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации

На рисунке 9 содержится информация о значении множественного коэффициента корреляции 0,923, коэффициента детерминации 0,851, а также значение F-статистики, предназначенной для проверки гипотезы о незначимости коэффициента детерминации (F=107,51) и вероятности принятия данной гипотезы ( ).

Рассчитаем оценки частных коэффициентов корреляции ( 0,797, 0,19, -0,19, 0,017) :

Рисунок 10 – Результаты оценивания частных коэффициентов корреляции

, , ,

Аналогичным образом рассчитываются оценки остальных частных коэффициентов корреляции и множественных коэффициентов корреляции.

Таким образом, оценки частных коэффициентов корреляции составили:

0,797	0,869
0,19	-0,008
-0,19	-0,041
0,017	0,493
0,073	0,157

Оценки множественных коэффициентов корреляции и коэффициентов детерминации составили:

0,923	0,851
0,873	0,762
0,494	0,244
0,157	0,025
0,512	0,262

Сравнивая по абсолютной величине оценки коэффициентов корреляции и соответствующих частных коэффициентов корреляции, можно сделать следующие выводы: например, поскольку > ,то такие показатели, как общая площадь жилых помещений в среднем на 1 жителя, величина прожиточного минимума и число собственных легковых авто на 1000 насел. усиливают взаимосвязь между cреднедушевыми денежными доходами населения в месяц и среднемесячной номинальной начисленной заработной платой.

Следует отметить, что для всех пар признаков оценки коэффициентов корреляции (по абсолютной величине) больше, чем оценки соответствующих частных коэффициентов корреляции.