Условная вероятность, зависимость и независимость события. Умножение вероятностей («и»)

Условная вероятность события В (обознач. Р_А(В)) - вероятность соб. В, найденная при условии, что произошло соб. А. Р_А(В)=Р(АВ)\Р(А); аналогично для Р_В(А)=Р(АВ)\Р(В). Умножая правую и левую части этих равенств на Р(А) и Р(В) соответственно, получим Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А) – это теор. умножения вер-стей: вер-сть произведения двух событий = произведению вер-сти одного из них на условную вер-сть другого, найденную в предположении, что 1-ое соб-е произошло. Теорема обобщается на случай произвольного числа событий: Р(АВС…KL)=P(A)*P_A(B)*P_AB(C)…P_ABC…KL(L), т.е. вер-сть произведения нес.к событий = произведению вер-сти одного из этих событий на условные вер-сти других; причем условная вер-сть каждого последующего соб-я вычисляется в предположении, что все предыдущие соб-я произошли. Соб. В наз-сянезависимым от соб. А, если его вер-сть не меняется от того, произошло соб. А или нет, т.е. Р_А(В)=Р(В). В противном случае, соб. В называется зависимым от А. Если соб В не зависит от А, то и А не зависит от В, док-во: Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А); Р(А)*Р(В)=Р(В)*Р_В(А); сократим; Р(А)=Р_В(А), т.е А не зависит от В. Для независимых соб-й теор. умножения вер-стей примет вид: Р(АВC…KL)=Р(А)*Р(В)…P(L).Пусть если событие А и В при условии (P(A/B)) – условной вероятностью А, что В произошло – вероятность, вычисленную при условии, что В произошло. Вероятность совместного появления двух событий = произведению вероятности появления первого события на условную вероятность второго, или наоборот. P(AB) = P(A)*P(B)- безусловные, Aи B – независимы. P(AB) =P(A)(условные)*P(B/A)(условные)=P(A/B) – зависимы. События А и В независимы, если Р(А/B)=P(A);P(B/A)=P(B).

Формула полной вероятности

H₁, H₂….H_n – гипотеза. P(A)=P(H₁)*P(A/H₁) + P(H₂)*P(A/H₂)+…+P(H_n)*P(A/H_n). P(H₁) + P(H₂) +…+ P(H_n) = 1

H₁ + H₂ +H₃= Ω(достоверное событие). Эти гипотезы образуют полную группу. H₁,H₂…H_n – образуют полную группу, тогда справедлива формула: P(A)= ∑P(H₁)P(A/ H₁). – смысл полной вероятности.Теорема о полной ф-ле вероятности. Если соб-е F может произойти только при условии появления одного из событий А1, A2,..., An, образующих полную группу, то вер-стьсоб-я F = сумме произведений вер-стей каждого из этих событий на соответствующие условные вер-сти соб. F: .

Док-во: По условию события А1, А2…Аn образуют полную группу, т.е. они единственно возможные и несовместные. Т.к. соб. А1, А2…Аn – единствен возможные, то соб. F по усл-ю теоремы может произойти только вместе с одним из соб.:F=FA1+FA2+…+FAn. Т.к. соб. А1, А2…Аn несовместны, можно применить теор. сложения вероятностей: P(F)=P(FA1)+P(FA2)+…+P(FAn)=сумма от 1 до n (P(FAi)). По теореме умножения Р(FAi)=P(Ai)*P_Ai(F).

Формула Байеса

Следствием теор. умножения и ф-лы полной вероятности явл-ся ф-ла Байеса. Она применяется, когда соб. F, которое может появиться только с одной из гипотез A1,A2,...,An образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку полученных вероятностей этих гипотез Р(А1), Р(А2)…Р(An), т.е надо найти условные вер-сти гипотез P_F(A1), P_F(A2)…Док-во: Запишем теор умножения в 2х формах: P(FAi)=P(F)*P_F(Ai)=P(Ai)*P_Ai(F), из 2х последних выражаем P_F(Ai), а затем в знаменатель подставляем значение P(F) из ф-лы полной вер-сти. Получаем ф-лу Байеса. Значение ф-лы Байеса - при наступлении соб. F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

А – произошло. P(H_n/A)= – по формуле полной вероятности. P(H₁/A)= ?, P(H₂/A)= ?, P(H₃/A)= ? – неизвестны.

P(A/H₁)= P(A)*P(H₁/A)= P(H₁)*P(A/H₁).

P(H₁/A)= =

Формула Байеса.P(H_j/A)=