Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение

Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.

@ Задача 3. Найти решение системы

.

Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:

.

Обозначив x₃ = с, получим решение (2 – с, 1, с).

§2.3. Система линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b₁= b₂= ¼ = b_n = 0 называется системой линейных однородных уравнений.

Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при D = 0.

@ Задача 3. Найти решение системы .

Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему

, т.е. находим x₁ и x₂ через x₃ = с. После подстановки x₃ = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x₁ = 2x₃ = 2с; x₂ = – x₃ = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид (2c, – c, c).

Тесты по теме №2

1. Решить систему уравнений:

R

£

£

2. Решить систему уравнений:

R

£

£

3. Решить систему:

R y = любое число, x = 5 + 2y.

£ y = любое число, x = 3 - 2y.

£ y = любое число, x = 1 + 3y.

4. Решить систему уравнений:

R

£

£

5. Решить систему:

£ x = 12 , у = 14, z = 2.

R x = -22 , у = 14, z = 2.

£ x = 11 , у = 12, z = 5.

£ x = 16 , у = 10, z = 4.

6. Решить систему уравнений:

R 4; 2; 1.

£ 1; 6; 0.

£ -3; 2; -1.

7. Решить систему двух уравнений:

£ x=-1; y = 1.

£ x=2; y = 4.

R x=3; y = -1.

8. Решить систему уравнений:

£ 1; 1; 3.

£ 4; -2; 0.

R 3; 1; 2.

9. Решить систему уравнений:

R 1; -2; 3.

£ 2; 3; 4.

£ -1; -2; 3.

10. Решить систему:

R -1; 3; 1.

£ 2; 1; -1.

£ 3; 0; 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.

Литература

1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ , 2008.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.