Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции

ЛЕКЦИЯ 13. Оценивание модели ARIMA

Частная автокорреляционная функция

Важную информацию о структуре модели стационарного стохастического процесса можно получить, используя частную автокорреляционную функцию.

Рассмотрим аппроксимацию AR(k) стационарного стохастического процесса X_t

(1)

Коэффициент α_kk называется коэффициентом частной автокорреляции X_t для величины лага k.

Ряд р_рагt(k) = α_kk с различными k называется частной автокореляционной функцией (PACF).

Для процесса AR(p) значения частной автокореляционной функции ρ_рагt(τ) равны нулю для величины лага τ > р.

Для процессов MA(q) значения частной автокорреляционной функции экспоненциально убывают с величиной лага q. В качестве значения частной автокорреляционной функции ρ_рагt(k) при заданной величине лага k может быть использована оценка коэффициента ά_kk модели AR(k) (1), полученная с помощью МНК-оценивания.

а) б)

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 Лаг k -0.2 Лаг k

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1

Рис. 1 Частная автокорреляционная функция процесса AR(1) а) α₁ > 0; б) α₁ < 0

а) б)

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 Лаг k -0.2 Лаг k

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1

Рис. 2 Частная автокорреляционная функция процесса MA(1) а) β₁ < 0; б) β₁ > 0

Тесты Дики-Фуллера

Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller test, DF-тест) основан на оценке параметра λ = = α₁ – 1 уравнения

ΔY_t = λ ·Y_t–1 + ε_t, (2)

эквивалентного уравнению авторегрессии . Его называют также тестом на единичный корень.

Нулевая H₀ и ей альтернативная H₁ гипотезы определяются соотношениями: H₀: λ = = 0; H₁: λ < 0. Если значение t-статистики Стьюдента для параметра λ меньше нижнего порогового значения DF-статистики, то нулевую гипотезу λ =0 (о наличии единичного корня α₁=1) следует отклонить и принять альтернативную о стационарности процесса Y_t. Таблицы теста Дики-Фуллера (DF-теста) рассчитаны для уровней значимости в 1, 5, 10 %. Указанные в таблице значения DF-теста – отрицательные.

DF-тест применим также для тестирования на единичный корень случайных процессов со смещением и со смещением и линейным детерминистическим трендом определяемых уравнениями:

∆Y_t = α₀ + α₁·Y_t–1 + ε_t, (3)

∆Y_t = α₀ + α₁·Y_t–1 + α₂·t + ε_t, (4)

где α₀ – константа, называемая смещением. При этом используются соответствующие таблицы критических значений DF-теста.

Отметим, что на практике трудно различить ситуации, когда следует применять DF-тест, а когда – DF-тест со смещением.

Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции

При наличии автокорреляции в остатках ε_t используется обобщенный тест Дики-Фуллера (ADF-mecm), согласно которому в правую часть уравнения регрессии в качестве дополнительных факторов включаются лаговые значения переменной из левой части ∆y_t-i

(5)

Процедура тестирования, как и ранее, сводится к оценке значения t-критерия Стьюдента для параметра a₁ и сравнении его с критическими значениями для ADF-теста, которые совпадают с критическими значениями обычного DF-теста.

Такой же подход, может быть применен и в случаях тестирования на единичный корень случайного процесса со смещением и случайного процесса со смещением и линейным детерминистическим трендом:

; (6)

. (7)

Как и ранее, критические значения для ADF-теста те же самые, что и для обычного DF-теста.