Предел и непрерывность

Лекция 10. Функции нескольких переменных.

Цель: расширить понятие функции. Рассмотреть функцию двух переменных Z = f(x, y) как обобщение функции одной переменной, что позволяет использовать метод аналогий с функцией одной переменной. Подчеркнуть имеющие место существенные качественные различия, особенно в способах задания функции.

Центральным вопросом данной темы является построение эмпирических формул, используя метод наименьших квадратов (МНК),который имеет важное прикладное значение и широко используется в курсах «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Статистика» и других дисциплинах для построения, в частности, прогнозных моделей и выбора лучшей из них.

Задача:четко представлять отличие и подобие при изучении основных понятий функции двух переменных. Научиться оценивать параметры линейной функции при построении эмпирических формул.

10.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Способы задания.

10.2. Предел и непрерывность.

10.3. Частные производные и дифференциал.

10.4. Экстремум функции и его необходимое условие.

10.5. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов.

Функции нескольких переменных. Основные понятия.

Ранее рассматривалось понятие функции одной переменной y=f(x), когда изменение переменной y зависит от изменения лишь одной переменной. В практической деятельности, в том числе при исследовании экономических процессов, приходится сталкиваться с такими ситуациям, когда некоторая переменная величина (изучаемый экономический фактор) зависит одновременно от нескольких величин, изменяющихся одновременно и независимо друг от друга.

Например, S=Vt, давление , объем пирамиды , кинетическая энергия , прибыль , где – стоимость сырья, – транспортные расходы, – налоговая ставка, – временные затраты и т.п.

Определение 1. Переменная z называется функцией n переменных x₁, x_2,…, x_n, если каждой совокупности этих переменных (x₁ ,x_2…, x_n) соответствует вполне определенное значение переменной z.

В этом случае записывают

Переменные x₁,x_2,…, x_n называются независимыми переменнымиили аргументами, z - зависимая переменная, f - символ означает закон соответствия.

Определение 2. Множество совокупностей чисел ( x₁ , x₂ ,…, x_n), при которых z принимает действительные значения, называется областью определения функции z.

Значение функции z при x₁=x₁₀, x₂=x₂₀,…,x_n=x_n0 называется частным значением функции и обозначается z₀= f( x₁₀ , x₂₀ ,…, x_n0) или

z = z₀

x₁=x₁₀, x₂=x₂₀,…,x_n=x_n0

Если переменная f зависит от двух переменных, то записывается в виде z = f(x,y).

Примеры. Найдите область определения функций.

1. .

Область определения: .

2.

Область определения определяется неравенством x- y > 0 или y < 0.

Всякую пару чисел (x,y) можно рассматривать как координаты некоторой точки M(x,y),принадлежащей плоскости xOy. Поэтому функцию переменных z = f(x,y) понимают как функцию точки M(x,y) и записывают: z = f(M). Отсюда следует, что область определения функции двух переменных представляет множество точек плоскости xOy. В первом примере область определения – есть вся неограниченная плоскость xOy; во втором примере неравенство y < x представляет полуплоскость (множество точек, лежащих ниже прямой y=x, рис. 10.1).

Для функции область определения есть множество точек, определяемых неравенством или . Это неравенство определяет множество точек, лежащих ниже параболы (рис.10.2).

Аналогично функции двух переменных функцию трех переменных можно рассматривать как функцию трехмерной точки u = f(x,y,z) или

u = f(M) .

В экономике достаточно часто используются производственные функции двух или более переменных: это функции, это функции, выражающие результат производственной деятельности от различных факторов x₁,x₂,.., x_n.

Например, одна из таких функций двух переменных – функция Кобба-Дугласа:

,

где допустим z– произведенного продукта, x₁ – затраты труда, х₂ – объем производственных фондов, b₀ , b₁ , b₂ – неотрицательные константы; при этом b₁+b₂=1.

Как и функции одной переменной, функции двух переменных можно задать различными способами:

а) аналитический способ – функция задается в виде формулы (примеры 1,2);

б) табличный способ. Находит частное применение в сложных расчетах на ЭВМ;

y x	x1	…	xi	…
y1 y2 …
yk			zik
..	…	….	…

в) графический способ;

г) в виде некоторого алгоритма.

Рассмотрим графический способ задания функции двух переменных. Пусть в трехмерной системе координат каждой паре чисел (х,у) на плоскости хОу – назовем эту плоскость плоскостью аргументов. Пусть область определения функции z = f(x,y) есть некоторая область D(рис.9.3)

Выберем точку М_о(x₀ , y₀). Ей соответствует значение функции f₀ = f (x₀,y₀) и точка P₀(x₀,y₀,z₀). Придавая независимым переменным (х,у) все значения из области D, каждый раз получаем точки М_i(x_i , y_i) и соответствующие им точки P_i(x_i,y_i,z_i), где z_i = f (x_i, y_i) тем самым опишется некоторая поверхность , которая называется графиком функции z = f (x, y).

Итак, графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), связанных соотношением z = f (x, y).

Очевидно, это множество – есть некоторая поверхность, проекцией которой на плоскости хОу является область D.

Изучение функции z = f (x, y) по ее графику не всегда просто и не всегда возможно из-за трудностей построения графиков. Поэтому используют другие методы, в частности, метод поперечных сечений.

Рассмотрим множество точек в области D, которым соответствует одно и то же значение функции z = h₁ точки с аппликатой z = h₁ лежат на поверхности на одной и той же высоте относительно плоскости

Рис. 10.3

аргументов. Они образуют некоторую линию, описываемую системой уравнений:

z = f (x, y) (1) (рис 10.3)

z = h₁

число h₁ называется уровнем.

Определение. Множество точек на плоскости, в которых значения функции одно и то же, называется линией уровня функции z = f (x, y).

Спроектировав линии уровня на плоскости хОу, получим на этой плоскости линии f (x, y)=h₁ , которые являются топографической картой поверхности …(на этом принципе построения карты температур – изотермы, карты давлений – изобары и т.п.)

Среди функций двух переменных самыми простыми являются линейные функции. Их графиком являются плоскости.

Предел и непрерывность.

Большая часть анализа для функции одной переменной может быть перенесена на случай функции двух переменных.

Определение. Окрестностью точки М_о (x₀ , y₀) называется круг радиуса с центром в точке М_о (x₀ , y₀).

Точка М (x,y) - произвольная точка окрестности. В этом случае , или (рис.10.4)

Определение. Число А называют пределом функции при (или в точке М_о (x₀ , y₀)),если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для точек М (x,y), отстоящих от точки М_о (x₀ , y₀) на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

В таком случае записывают:

При выполнении пределов функции двух и более переменных имеют место все свойства пределов функции одной переменной, но практическая реализация этих свойств значительно сложней.

Примеры.

- неопределенность.

Введем переменную . Очевидно, при и . Тогда:

Пусть функция определена в точке М_о(x₀ , y₀) и некоторой её окрестности. Если аргументы x₀ и y₀ получат приращения и , то функция получит полное приращение

, где ,

Определение. Функция называется непрерывной в точке М_о (x₀ , y₀), если при и предел приращения функции равен нулю, то есть

(10.1)

Из равенства (10.1) вытекает откуда, в свою очередь, получается (10.2)

Из равенства (10.2) вытекает еще одно определение непрерывности функции в точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке М_о (x₀ , y₀), если:

1)она определена в точке М_о (x₀ , y₀);

2)имеет конечный предел при и ;

3)этот предел равен значению функции в точке М_о (x₀ , y₀).

Если в точке М_о (x₀ , y₀) условие непрерывности нарушено, то эта точка называется точкой разрыва функции .

Примеры. Найти точки разрыва функций.

Аналогично функции одной переменной вводится понятие непрерывности функции двух переменных в области D: функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.