Контрольное задание №3

Закон динамики поступательного движения

mdv/dt = SF_внеш. - закон динамики поступательного движения.

Имеются два способа решения задач. Первый (самый простой) - решение с помощью законов сохранения, если система замкнута и консервативна. Второй (пригоден во всех случаях) – решение путем непосредственного интегрирования законов динамики.

Задача

Парашютист, масса которого 70 кг, совершает затяжной прыжок. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Определить, через какой промежуток времени Dt скорость движения парашютиста будет составлять 90% от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю.

Пример решения

F_сопр = kv Система незамкнута, так как сумма внешних

k =10 кг/с сил, действующих на парашютиста, не

v = 0,9v_o F_сопрравна нулю. Поэтому законы сохранения

m=70 кг импульса и момента импульса

Dt =? использовать нельзя. Система не

консервативна, так как на парашютиста

mgдействует сила сопротивления.

Единственный способ решения задачи – интегрирование закона динамики поступательного движения. Выберем ось х направленной вниз по направлению движения парашютиста. Тогда

mdv/dt = SF_внеш. = mg – kv.

Здесь мы уже подставили выражение для силы сопротивления. При интегрировании уравнения будем пользоваться методом разделения переменных. Переменных две: скорость – v и время – t. Разделить переменные – это значит получить выражение, в котором бы левая часть зависела бы только от времени, а правая – только от скорости. При этом производную следует рассматривать как дробь dv, деленное на dt.

dt = mdv/(mg – kv) – переменные разделены и можно интегрировать:

òdt = mòdv/(mg – kv) .

Найдем пределы интегрирования. Время у нас меняется от 0 до Dt.

Cкорость меняется от 0 до 0,9v_o. Для нахождения скорости установившегося движения v_o вернемся к закону динамики поступательного движения.

mdv/dt = SF_внеш. = mg – kv= 0, так как при установившемся движении ускорение dv/dt=0. Следовательно, v_o =mg/k.

₀ò^Dt dt = m ₀ò^0,9mg/k dv/(mg – kv) .

Чтобы иметь табличный интеграл, умножим числитель под знаком дифференциала на –к и разделим на эту же величину. Под знаком дифференциала можно добавлять любую константу. Тогда получим следующее выражение

Dt = -(m/k) ₀ò^0,9mg/k d(mg – kv)/(mg – kv)

Dt = -(m/k) ln(mg – kv)ê₀^0,9mg/k= -(m/k) ln[(mg – 0,9mg)/mg]=10m/k= 70 с.

Варианты

1.1. Катер массой 3 тонны с двигателем мощностью N= 40 кВт развивает максимальную скорость 20 м/с. Определить время, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Сила сопротивления движению катера пропорциональна квадрату скорости.

1.2. Снаряд массой 9 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью 700 м/с. Считать силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости. Определить время подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления к=0,2 кг/с.

1.3. Моторная лодка массой 300 кг начинает двигаться по стоячей воде. Сила тяги мотора равна 0,3 кН. Считать силу сопротивления движению лодки пропорциональной скорости. Определить скорость лодки через 10 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления к=10 кг/с.

1.4. С вертолета, висящего неподвижно на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой 80 кг. Считать силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости. Определить, через какой промежуток времени ускорение груза будет равно одной трети ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления к = 10 кг/с.

1.5. Начальная скорость пули равна 700 м/с. При движении в воздухе за время Dt=0,7 с ее скорость уменьшилась до 200 м/с. Масса пули 8 г. Считать силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости. Определить коэффициент сопротивления. Действием силы тяжести на пулю пренебречь.