ГЕОМЕТРИЯ (Прямые, плоскости и углы в пространстве. Координаты и векторы. Многогранники, тела и поверхности вращения. Элементы вычислительной геометрии)

знать:

· различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;

· основные правила и приемы изображения пространственных фигур на плоскости;

· формулы нахождения объемов и площадей поверхности основных пространственных фигур (пирамиды, призмы, тела вращения).

уметь:

· распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

· описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

· анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

· изображать на плоскости основные многогранники и тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач;

· строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса;

· решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

· использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

· проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ
И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Вид учебной работы (по учебному плану)	Количество часов в соответствии с учебным планом
Максимальная учебная нагрузка студента
Аудиторные занятия (уроки)
Самостоятельная работа
Форма промежуточного контроля	зачет
Форма итогового контроля	экзамен

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Приведенное ниже тематическое планирование предполагает комбинированную организацию проведения большинства уроков, то есть использование лекционных и семинарских форм работы.

№№ п/п	Темы дисциплины	Виды учебных занятий
Уроки
	Развитие понятие о числе
	Корни, степени, логарифмы
	Элементы комбинаторики
	Прямые, плоскости и углы в пространстве
	Основы тригонометрии
	Координаты и векторы
	Функции, их свойства и графики
	Многогранники, тела и поверхности вращения
	Начала математического анализа
	Элементы вычислительной геометрии
	Элементы теории вероятностей и математической статистики
	Уравнения и неравенства
	Всего:

ПРОГРАММА КУРСА

Тема 1. «Развитие понятия о числе»

Студент должен:

знать:

· определение действительного числа;

· понятие абсолютной и относительной погрешности приближений;

уметь:

· выполнять с заданной точностью арифметические действия;

· находить приближенные значения числовых выражений.

Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа. Число e. Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Тема 2. «Корни, степени, логарифмы»

Студент должен:

знать:

· понятие корня натуральной степени;

· понятие степени с действительным показателем и ее свойства;

· способы решения иррациональных уравнений;

· определение логарифма числа, свойства логарифма;

· свойства и графики показательной и логарифмической функций;

· способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

уметь:

· решать простейшие иррациональные уравнения;

· строить графики показательных и логарифмических функций с разными основаниями и на них иллюстрировать свойства функций;

· вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств;

· решать несложные показательные и логарифмические уравнения;

· решать несложные показательные и логарифмические неравенства.

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства.Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.

Степенная, показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств, простейших иррациональных уравнений.

Тема 3. «Элементы комбинаторики»

Студент должен:

знать:

· основные понятия комбинаторики;

· формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний;

уметь:

· решать задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний;

· решать задачи на перебор вариантов.

Основные понятия комбинаторики. Правило умножения и формулы для подсчета числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Тема 4. «Прямые, плоскости и углы в пространстве»

Студент должен:

знать:

· основные понятия стереометрии;

· аксиомы стереометрии и следствия из них;

· виды взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве, способы задания плоскости в пространстве;

· основные теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей (без доказательства);

· понятие угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

· понятие расстояния от точки до прямой и до плоскости, расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояния между параллельными плоскостями;

уметь:

· устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;

· применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Тема 5. «Основы тригонометрии»

Студент должен:

знать:

· определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно;

· определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

· основные формулы тригонометрии, перечисленные в программе курса;

· свойства и графики тригонометрических функций;

· понятие обратных тригонометрических функций;

· способы решения простейших тригонометрических уравнений;

уметь:

· строить графики тригонометрических функций;

· преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

· решать простейшие тригонометрические уравнения;

· решать несложные тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Тема 6. «Координаты и векторы»

Студент должен:

знать:

· понятие прямоугольной декартовой системы координат в пространстве;

· формулы расстояния между точками с заданными координатами и координаты середины отрезка;

· уравнение сферы;

· определение вектора, действий над векторами;

· свойства действий над векторами;

· понятие коллинеарных и компланарных векторов;

уметь:

· находить расстояние между точками с заданными координатами и координаты середины отрезка;

· составлять уравнение сферы;

· выполнять действия над векторами;

· раскладывать вектор на составляющие;

· вычислять длину вектора, угол между векторами;

· вычислять скалярное произведение векторов.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тема 7. «Функции, их свойства и графики»

Студент должен:

знать:

· определение числовой функции, способы ее задания;

· простейшие преобразования графиков функций;

· свойства функции, перечисленные в программе курса;

уметь:

· находить область определения функции;

· находить значение функции, заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

· по графику функции устанавливать ее важнейшие свойства (монотонность, ограниченность, четность, периодичность, непрерывность);

· применять геометрические преобразования при построении графиков.

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность, непрерывность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума и экстремумы. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Тема 8. «Многогранники, тела и поверхности вращения»

Студент должен:

знать:

· понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

· определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

· понятие тела вращения и поверхности вращения;

· определение цилиндра, конуса, шара, сферы;

уметь:

· изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;

· строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Тема 9. «Начала математического анализа»

Студент должен:

знать:

· определение числовой последовательности;

· понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

· правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

· уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

· достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

· определение второй производной, ее физический смысл;

· общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

· правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

· определение первообразной;

· таблицу и правила вычисления первообразных;

· понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

· понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

уметь:

· дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

· вычислять значение производной функции в указанной точке;

· находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

· применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

· находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

· находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

· решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

· вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

· вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

· вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

· находить площади криволинейных трапеций.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Тема 10. «Элементы вычислительной геометрии»

Студент должен:

знать:

· понятие объема и площади поверхности многогранника;

· формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей многогранников;

· формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей тел вращения;

уметь:

· находить объем прямой призмы, параллелепипеда, пирамиды;

· находить площади поверхностей призмы, параллелепипеда, пирамиды;

· изображать и вычислять основные элементы прямого кругового цилиндра, конуса, шара;

· вычислять площади осевых сечений тел вращения;

· находить объемы цилиндра, конуса, шара;

· находить площади поверхностей цилиндра, конуса, шара.

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Тема 11. «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

Студент должен:

знать:

· основные понятия статистики (мода, медиана, размах, среднее арифметическое, частота);

· классическое и статистическое определение вероятности;

уметь:

· оценивать по относительной частоте событие и его вероятность;

· вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

· представлять с помощью таблиц, диаграмм и графиков частотное распределение данных;

· находить моду, медиану, размах, среднее арифметическое совокупности числовых данных.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана, мода, размах. Понятие о задачах математической статистики.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Тема 12. «Уравнения и неравенства»

Студент должен:

знать:

· понятие равносильности уравнений, неравенств, систем;

· основные способы решения рациональных, показательных, логарифмических, простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

· основные способы решения рациональных, показательных, логарифмических неравенств;

уметь:

· решать рациональные, показательные, логарифмические, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

· решать рациональные, несложные показательные, логарифмические неравенства.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.