Векторы на плоскости и в пространстве

Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений.

Векторы

Цельизучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.

Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектор– это направленный отрезок Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru. Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Длиной (модулем) вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruназывается число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruили Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Если модуль вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , вектор называется нулевым; направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора равны, то есть Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , если выполняется три условия: Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ; Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru и Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruи Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru одинаково направлены.

Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , удовлетворяющий следующим условиям: Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruи Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru сонаправлены, если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru и направлены в противоположные стороны, если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называется противоположным вектору Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Таким образом, условие Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru является достаточным для коллинеарности вектором Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruи Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Сложение векторов. Суммой двух векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruи Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называется вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , начало которого совпадает с началом вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru, а конец – с концом вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru при условии, что начало вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru совпадает с концом вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2).

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Так как вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то для получения суммы двухвекторов можно использовать правило параллелограмма: суммой двух векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruи Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых.

Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника: чтобы найти сумму нескольких векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ,нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3).

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Разностьюдвух векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называется сумма Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Если вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4).

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Рассмотрим вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruв плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу.

Получим вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Координатами вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называются координаты точки М(х;у). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5).

Очевидно, или Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru или Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Если вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M(x,y,z), то вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru можно представить в виде:

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru xi Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruyj Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruzk, (3.1.1)

где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Найдем сумму и разность этих векторов:

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru (3.1.2)

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru или Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Сложение векторов и умножение вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru на скаляр подчиняется следующим свойствам:

1) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

2) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

3) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

4) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

5) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Доказательства вытекают на основании (3.1.2).

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Определение. Скалярным произведением векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru и Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называется число Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . (3.1.3)

Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения:

1) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

2) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

3) Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ;

4) если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ; если Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru - условие перпендикулярности векторов.

Если векторы коллинеарны, то есть Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru - условие коллинеарности векторов.

Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

Понятие вектора можно обобщить. Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1, х2,…, хn), хi – компоненты вектора Х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , а соответствующие цены – вектором Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru с компонентами Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ; разность векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru с компонентами Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , с теми же свойствами.

Скалярное произведение n-мерных векторов:

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Если X Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru - набор товаров, а Y Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru - соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров:

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Определение.Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Определение.Вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruназывается линейной комбинацией векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruвекторного пространства, если

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , (3.1.4)

где Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru - любые действительные числа.

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Определение. Векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называются линейно зависимыми, если существуют такие числа Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

В противном случае векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru( Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ) называются линейно независимыми.

Если векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruлинейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru( Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ) линейно зависимы, то есть

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru и Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , тогда

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Верно и обратное утверждение: если один из векторов выражается через остальные, то все векторы в совокупности линейно зависимы.

Для векторного пространства имеет место следующее свойство: если среди m векторов какая-то часть векторов являются линейно зависимыми, то все m векторов линейно зависимы.

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Определение.Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любые из ( Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ) векторов уже линейно зависимы. Это число n называется размерностью пространства.

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Определение.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом.

Для базисных векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruпринято обозначение Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru, то есть Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . ( 3.1.5)

Доказательство.Пусть векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruобразуют некоторый базис n-мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ( Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru )-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ( Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ), следовательно

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Обозначим Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , откуда Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.

Пример. Даны векторы е1 Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , е2 Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , е3 Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Разложить вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruпо базисным векторам Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru: запишем разложение вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Перейдем к координатной форме

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Перейдем к системе уравнений

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Разложение вектора Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ruпо базису имеет вид Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Собственные векторы и

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru собственные значения матрицы.

Определение.Вектор Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru называется собственным вектором квадратной матрицы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , если существует такое число λ, что выполняется условие Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . (3.1.6)

Число λ называется собственным значением (числом) матрицы, соответствующим вектору Х.

Из определения следует, что при умножении матрицы А на вектор Х получается вектор, коллинеарный вектору Х.

Равенство (3.6) перепишем в матричной форме.

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru ,

тогда равенство (3.1.6) переходит в систему линейных уравнений

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

или Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru (3.1.7)

В матричной форме система (3.1.7) имеет вид Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Чтобы однородная система (3.1.7) (или матричное уравнение (3.1.6)) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , то есть

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru (3.1.8)

Определитель Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru представляет собой многочлен n-ой степени относительно λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы А,а уравнение (3.1.8) характеристическим уравнением матрицы А.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Решение.Составим характеристическое уравнение

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru или Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Находим собственные векторы (см. )

а) для собственного числа Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru

Оба уравнения совпадают. Одно следует отбросить. Система имеет бесчисленное множество решений. Положив Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru , получаем Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru . Собственному значению Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru соответствует собственные векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

б) Аналогично находится вторая совокупность собственных векторов Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

В частности, это могут быть векторы Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru и Векторы на плоскости и в пространстве - student2.ru .

Наши рекомендации