Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез
Задание 2. Линейная корреляция
Дано корреляционное поле в виде таблицы
 |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
Вычислить коэффициент корреляции. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X , построить корреляционное поле и нанести на него линию прямой регрессии Y на X.
Решение. Определим выборочные средние значения для каждой случайной величины
, 
.
Найдем теперь значения исправленных выборочных дисперсий для каждой случайной величины
,
.
Исправленная эмпирическая ковариация и коэффициент корреляции равны величинам
.
Эмпирический коэффициент регрессии Y на X находится по формуле
.
Уравнение прямой регрессии Y на X записывается в следующем виде
.
Рис.2 . Корреляционное поле и линия регрессии Y на X.
Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез
Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины 
в виде таблицы. Случайная величина имеет смысл числа отказов. Частоты наблюдений отказов обозначены 
. Используя критерий 
, проверить на уровне значимости 
гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.
Решение. Дана таблица
| |  |  |  | |  |
| |  | | | | |
Найдем объем выборки 
по формуле
.
Число 
описывает число групп данных, приведенных в таблице наблюдений.
Вычислим оценку параметра распределения 
в законе для редких событий Пуассона
.
Формула Пуассона закона распределения вероятностей имеет следующий вид
,
где 
– число появлений заданного события, в нашем примере это число отказов.
Проведем расчеты вероятностей
.
Найдем теоретические частоты 
, 
применяя расчетную формулу
,
в которой величина 
означает номер группы данных в таблице отказов. Подставим теоретические частоты в таблицу расчета эмпирического критерия Пирсона
| | |  |  |
| |  |  |  |
| |  | |  |
| |  |  |  |
| |  |  |  |
| |  | | |
 |  |
Эмпирический критерий находится путем суммирования данных, размещенных в последнем столбце таблицы расчета критерия Пирсона
,
где 
– общее число значимых групп данных.
Воспользуемся таблицами теоретического распределения, которое является функцией двух переменных ( 
– уровня значимости и числа степеней свободы 
)
Поскольку выполнено неравенство
,
то статистическую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по закону редких событий Пуассона следует отвергнуть. При этом риск отвергнуть правильную гипотезу равен уровню значимости, т.е. в примере этот риск равен пяти процентам.
Задание 4. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения
Найти с надежностью 
доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания 
для нормально распределенного признака 
, если даны значения: генеральное среднее квадратичное отклонение 
; выборочное среднее 
; объем выборки 
.
Решение. Неизвестное математическое ожидание находится в интервале 
.
Последняя в записи формула обозначает уравнение относительно t, содержащее функцию Лапласа 
:
,
Применяя таблицы функции Лапласа, находим неизвестное значение параметра 
. Определим величину 
.
Найдем доверительный интервал
.
Доверительный интервал 
покрывает математическое ожидание для нормально распределенной случайной величины с заданной величиной надежности 
, которая называется также доверительной вероятностью. В данной задаче доверительная вероятность равна 0,99 или 99%.
Задание 5
Решим задачу со следующими данными: n=32, n1=6, n2= 6, n3= 16 и n4= 4.
Отнесем к 1-му разряду тех студентов, которые получили 5 баллов (6 человек), ко 2-му разряду – 4 балла (6 человек), к 3-му – 3 балла (16 человек) и к 4-му – тех, кто получил 2 балла (4 человека). Если бы в каждом разряде было одинаковое количество студентов, то распределение оценок было бы равномерным. Сформулируем гипотезы:
Н0: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, не отличается от равномерного распределения.
Н1: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, статистически достоверно отличается от равномерного распределения.
Вычислим теоретическую частоту по формуле: fтеор = n/k, где n– количество наблюдений, k – количество разрядов. В нашем случае: fтеор = 32/4 = 8. Сравним с этой частотой все эмпирические частоты. Составим таблицу и все вычисления выполним в ней.
Таблица
| Разряды (количество баллов) | Эмпирические частоты fj | Теоретическая частота fт | fj – fт | (fj – fт)2 | (fj – fт)2/fт |
| 1 (5 баллов) 2 (4 балла) 3 (3 балла) 4 (2 балла) | -2 -2 -4 | 0.5 0.5 | |||
| Суммы |
Вычислим число степеней свободы n = к-1 = 4-1 = 3. Найдем по таблице критические значения: c2кр = 7.815 для a = 0.05, c2кр = 11.345 для a = 0.01. В соответствии с правилом принятия решения гипотезу Н0 следует отвергнуть. Распределение полученных оценок отличается от равномерного, но так как c2эмп < 11.345, статистически достоверно утверждать, что перед нами – группа «троечников» мы не можем.
Задание 6.
В таблице (ниже) представлены значения вербального интеллекта, полученные у студентов-физиков и студентов-психологов. Превосходят ли студенты-психологи студентов-физиков по уровню вербального интеллекта?