Статистическая проверка гипотез

Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах распределения известного вида (параметрические гипотезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы).

Одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) , а другую, являющуюся логическим отрицанием — в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы .Процедура проверки соответствия высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотезы.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы .

Применение статистических критериев проверки нулевой гипотезы основывается на специально подобранной СВ – выборочной статистике, характеризующей меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением. Часто саму СВ называют статистическим критерием или критической статистикой.

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Одним наиболее распространённым критерием проверки непараметрических гипотез о виде функции распределения изучаемой случайной величины является критерий (Пирсона). Данный критерий проверяет гипотезу о возможном законе распределения и применяется для разных распределений.

Схема применения критерия для проверки гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины заключается в следующем:

1)Рассматриваем гипотезу Н₀ о законе распределения случайной величины (дискретной или непрерывной);

2)По выборке находим оценки и неизвестных параметров предполагаемого закона распределения;

3)Определяем частоты , с которымивстречаются в выборке значения дискретной СВ или выборочные значения непрерывной СВ, принадлежащие соответствующим интервалам;

4)Находим теоретические вероятности − для дискретной СВ, − для непрерывной, в частности, для нормального закона распределения имеем

;

5) Вычисляем наблюдаемое значение критической статистики критерия − : ;

6) Контроль вычислений осуществляется равенством .

7) Принимаем статистическое решение: гипотеза Н₀ не противоречит выборке наблюдений на данном уровне значимости , если , где − число степеней свободы, а − число параметров распределения. Если же , то гипотеза Н₀ отклоняется и может быть выдвинута другая гипотеза Н₁, которая проверяется по той же схеме[3-5].

Симплекс метод

1 этап. Построение первоначального базисного плана.

Рассмотрим ЗЛП в канонической форме. Предположим, что среди векторов условий найдутся линейно независимых единичных векторов (единичный базис). Соответствующие им переменные (компоненты вектора ) назовем базисными, а оставшиеся − небазисными переменными. Пусть далее , т.е. . Не ограничивая общности, предполагаем, что базисными являются первые переменных. Тогда ЗЛП приобретает вид .при ограничениях Значения небазисных переменных принимаем равными нулю , тогда из (11) вытекает, что и получим первоначальный базисный план вида . Если задача задана в нормальной форме и , то всегда легко найти первоначальный базисный план, переходя к канонической форме. За единичный базис нужно взять векторы , соответствующие свободным переменным.При решении ЗЛП симплекс-методом удобно пользоваться симплексными таблицами (таблица 1), которые составляются для каждого плана.Последнюю, (m+1)−ю строку симплексной таблицы называют индексной строкой. В нее заносят значение целевой функции для начального опорного плана и оценки векторов условий : , Оценки базисных векторов всегда равны нулю.

Линейная регрессия

Распределение системы СВ характеризуется числовыми параметрами: математическими ожиданиями компонент , ; дисперсиями , ; корреляционным моментом (ковариацией) ; коэффициентом корреляции , .

Здесь и дальше, будем считать, что двумерная СВ распределена нормально, тогда уравнения линейной регрессии на и на имеют вид [3]:

.По корреляционной таблице 1, найдем оценки параметров линейной регрессии, (см. лаб. раб. №3):

; ; ; ; ; - выборочный коэффициент корреляции . (7) Выборочный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между и . Если , то элементы выборки , , лежат на прямой линии, а и считаются практически линейно зависимы. Чем ближе к 1, тем связь сильнее; чем ближе к 0, тем связь слабее. Если и независимы, то .

Эмпирическая функция линейной регрессии на и на соответственно задаётся уравнениями .