Уравнение линейной регрессии значимо, если

,

где n – число измерений, a - выбранный уровень значимости.

П р и м е р 2. При измерении диаметра Y (мкм) шаровидной фуксии в зависимости от числа пор Х, расположенных в экваториальной плоскости пылинки, получены результаты:

Таблица 3.

Y X

nx

ny

Составить уравнения регрессий Y на Х и Х на Y и проверить их значимость.

Решение. На основании данных таблицы 3 найдем условные средние у_х.

;

;

у₂ = 33,5;

у₃ = 45;

у₄ = 55.

Полученные результаты занесем в таблицу

Таблица 4.

	Х
	ух	13,5		33,5

Аналогичным образом составим таблицу 5.

Таблица 5

Y
ху		0,3					2,75		3,5

Для наглядности изобразим данные таблиц 4, 5 на рисунках 2 и 3 соответственно.

у     60 50 40 30 10 0 1 2 3 4 х

у     60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 х

Рис. 2. Рис. 3.

Как видно из рисунков 2 и 3, между Y и Х существуют линейные регрессионные зависимости. Уравнение регрессий будем искать в виде:

y_x = a x + b,

x_y = c y + d.

Произведем необходимые вычисления

;

;

;

;

;

; .

Определим коэффициенты регрессии.

;

;

;

.

Уравнения регрессии имеют вид:

у_х = 10,9 × х + 11,4;

х_у = 0,086 × у – 0,86.

Учитывая, что , получим

;

.

Проверим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем величину

.

Возьмем уровень значимости a = 0,05.

t_{0,05; 48} = 0,68.

Поскольку t_Э > t_{0,05; 48}, то можно считать, что случайные величины связаны линейной корреляционной зависимостью.

Проверим значимость линейной регрессии Y на Х. Для этого рассчитаем и , используя таблицу 4.

.

Найдем величину .

Возьмем за уровень значимости a = 0,05.

F_{0,05; 1; 48} =4,08.

Поскольку F_Э >> F_{0,05; 1; 48}, то регрессия Y на Х значима.

Аналогично проверяется значимость регрессии Х на Y. Для этого рассчитывается и , используя таблицу 5.

Примеры для самостоятельного решения.

Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (Х, Y) представлены в корреляционной таблице. Найти:

1) выборочный коэффициент корреляции и выборочное корреляционное отношение и проверить их значимость;

2) уравнения прямых регрессий Y на Х и Х на Y и проверить их значимость.

Построить уравнения полученных регрессий.

1)	Y X						nx
	ny

2)	Y X						nx
	ny

3)	Y X							nx
	ny

4)	Y X						nx
	ny

5)	Y X						nx
	ny

6)	Y X						nx
	ny

7)	Y X	0,8		1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	nx
	3,5
	4,5
	5,5
	ny

8)	Y X						nx
	ny

9)	Y X									nx
	ny

10)	Y X						nx
	ny

Приложение V.

Значения критерия F на 5% уровне значимости (вероятность 95%)

Степени свободы для меньшей дисперсии (знаменателя)	Степени свободы для большей дисперсии (числителя)
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,72	4,74
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,27	4,21	4,15	4,10	4,06
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76
	4,64	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60
	4,54	3,60	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,45
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,55	2,48	2,43	2,38
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,52	2,45	2,40	2,35
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,47	2,40	2,35	2,30
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,45	2,38	2,32	2,28
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,43	2,36	2,30	2,26
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,41	2,34	2,28	2,24
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,30	2,25	2,20
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,36	2,29	2,24	2,19
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,34	2,27	2,21	2,16
	4,15	3,30	2,90	2,67	2,51	2,40	2,32	2,25	2,19	2,14
	4,13	3,28	2,88	2,65	2,49	2,38	2,30	2,23	2,17	1,21
	4,11	3,26	2,86	2,63	2,48	2,36	2,28	2,21	2,15	2,10
	4,10	3,25	2,85	2,62	2,46	2,35	2,26	2,19	2,14	2,09
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,07
	4,07	3,22	2,83	2,59	2,44	2,32	2,24	2,17	2,11	2,06
	4,06	3,21	2,82	2,58	2,43	2,31	2,23	2,16	2,10	2,05
	4,05	3,20	2,81	2,57	2,42	2,30	2,22	2,14	2,09	2,04
	4,04	3,19	2,80	2,56	2,41	1,30	2,21	2,14	2,08	2,03
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	2,02
	4,02	3,17	2,78	2,54	2,38	2,27	2,18	2,11	2,05	2,00
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99
	3,99	3,14	2,75	2,51	2,36	2,24	2,15	1,08	2,02	1,98
	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,14	2,07	2,01	1,97
	3,96	3,11	2,72	2,48	2,33	2,21	2,12	2,05	1,99	1,95
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,10	2,03	1,97	1,92
	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,08	2,01	1,95	1,90
	3,91	3,06	2,67	2,43	2,27	2,16	2,07	2,00	1,94	1,89
	3,89	3,04	2,65	2,41	2,26	2,14	2,05	1,98	1,92	1,87
	3,86	3,02	2,62	2,39	2,23	2,12	2,03	1,96	1,90	1,85
	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	2,02	1,95	1,89	1,84
¥	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	2,01	1,94	1,88	1,83

Степени свободы для меньшей дисперсии (знаменателя)	Степени свободы для большей дисперсии (числителя)
									¥
								2,52
	19,40	19,41	19,42	19,43	19,44	19,46	19,47	19,48	19,49	19,50
	8,76	8,74	8,71	8,69	8,66	8,62	8,60	8,58	8,56	8,53
	5,93	5,91	5,87	5,84	5,80	5,74	5,71	5,70	5,66	5,63
	4,70	4,68	4,64	4,60	4,56	4,50	4,46	4,44	4,40	4,36
	4,03	4,00	3,96	3,92	3,87	3,81	3,77	3,75	3,71	3,67
	3,60	3,57	3,52	3,49	3,44	3,38	3,34	3,32	3,28	3,23
	3,31	3,28	3,23	3,20	3,15	3,08	3,05	3,03	2,98	2,93
	3,10	3,07	3,02	2,98	2,93	2,86	2,82	2,80	2,76	2,71
	2,94	2,91	2,86	2,82	2,77	2,70	2,67	2,64	2,59	2,54
	2,82	2,79	2,74	2,70	2,65	2,57	2,53	2,50	2,45	2,40
	2,72	2,69	2,64	2,60	2,54	2,46	2,42	2,40	2,35	2,30
	2,63	2,60	2,55	2,51	2,46	2,38	2,34	2,32	2,26	2,21
	2,56	2,53	2,48	2,44	2,39	2,31	2,27	2,24	2,19	2,13
	2,51	2,48	2,43	2,39	2,33	2,25	2,21	2,18	2,12	2,07
	2,45	2,42	2,37	2,33	2,28	2,20	2,16	2,13	2,07	2,01
	2,41	2,38	2,33	2,29	2,23	2,15	2,11	2,08	2,02	1,96
	2,37	2,34	2,29	2,25	2,19	2,11	2,07	2,04	1,98	1,92
	2,34	2,31	2,26	2,21	2,15	2,07	2,02	2,00	1,94	1,88
	2,33	2,28	2,23	2,18	2,12	2,04	1,99	1,96	1,90	1,84
	2,28	2,25	2,20	2,15	2,09	2,00	1,96	1,93	1,87	1,81
	2,26	2,23	2,18	2,13	2,07	1,98	1,93	1,91	1,84	1,78
	2,24	2,20	2,14	2,10	2,04	1,96	1,91	1,88	1,82	1,76
	2,22	2,18	2,13	2,09	2,02	1,94	1,89	1,86	1,80	1,73
	2,20	2,16	2,11	2,06	2,00	1,92	1,87	1,84	1,77	1,71
	2,18	2,15	2,10	2,05	1,99	1,90	1,85	1,82	1,76	1,69
	2,16	2,13	2,08	2,03	1,97	1,88	1,84	1,80	1,74	1,67
	2,15	2,12	2,06	2,02	1,96	1,87	1,81	1,78	1,72	1,65
	2,14	2,10	2,05	2,00	1,94	1,85	1,80	1,77	1,71	1,64
	2,12	2,09	2,04	1,99	1,93	1,84	1,79	1,76	1,69	1,62
	2,10	2,07	2,02	1,97	1,91	1,82	1,76	1,74	1,67	1,59
	2,08	2,05	2,00	1,95	1,89	1,80	1,74	1,71	1,64	1,57
	2,06	2,03	1,98	1,93	1,87	1,78	1,72	1,69	1,62	1,55
	2,05	2,02	1,96	1,92	1,85	1,76	1,71	1,67	1,60	1,53
	2,04	2,00	1,95	1,90	1,84	1,74	1,69	1,66	1,59	1,51
	2,02	1,99	1,94	1,89	1,82	1,73	1,68	1,64	1,57	1,49
	2,01	1,98	1,92	1,88	1,81	1,72	1,66	1,63	1,56	1,48
	2,00	1,97	1,91	1,87	1,80	1,71	1,65	1,62	1,54	1,46
	1,99	1,96	1,90	1,86	1,79	1,70	1,64	1,61	1,53	1,45
	1,98	1,95	1,90	1,85	1,78	1,69	1,63	1,60	1,52	1,44
	1,97	1,93	1,88	1,83	1,76	1,67	1,61	1,58	1,50	1,41
	1,95	1,92	1,86	1,81	1,75	1,65	1,59	1,56	1,48	1,39
	1,94	1,90	1,85	1,80	1,73	1,63	1,57	1,54	1,46	1,37
	1,93	1,89	1,84	1,79	1,72	1,62	1,56	1,53	1,45	1,35
	1,91	1,88	1,82	1,77	1,70	1,60	1,54	1,51	1,42	1,32
	1,88	1,85	1,79	1,75	1,68	1,57	1,51	1,48	1,39	1,28
	1,86	1,83	1,77	1,72	1,65	1,55	1,49	1,45	1,36	1,25
	1,85	1,82	1,76	1,71	1,64	1,54	1,47	1,44	1,34	1,22
	1,83	1,80	1,74	1,69	1,62	1,52	1,45	1,42	1,32	1,19
	1,81	1,78	1,72	1,67	1,60	1,49	1,42	1,38	1,28	1,13
	1,80	1,76	1,70	1,65	1,58	1,47	1,41	1,36	1,26	1,08
¥	1,79	1,75	1,69	1,64	1,57	1,46	1,40	1,35	1,24	1,00

Значения критерия F на 1% уровне значимости (вероятность 99%)