Уравнение парной линейной регрессии

Если зависимость между результатом и фактором установлена, то ее целесообразно представить математической функцией Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru . При выборе типа функции (линейная или нелинейная) руководствуются характером расположения точек на поле корреляции, а также содержанием изучаемой связи, которая наилучшим образом соответствует исходным данным, иначе говоря, обеспечивает наилучшую аппроксимацию поля корреляции.

Когда влияние изменения фактора на результат постоянно, используют линейную функцию, в других случаях необходимо применять нелинейные функции.

Математическое описание зависимости в среднем изменений результативного признака Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru от фактора Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru называется уравнением парной регрессии.

Парная линейная регрессия имеет вид

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

где Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru ;

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - свободный член уравнения регрессии; Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - коэффициент регрессии.

Построение регрессионной модели включает следующие основные этапы:

- определение цели исследования;

- оценка однородности исходных данных;

- выбор формы связи между результатом и отобранными факторами;

- определение параметров модели;

- оценка тесноты связи;

- определение показателей эластичности;

- проверка качества построенной модели.

Вернемся к рассматриваемому примеру 1.1 и построим
уравнение парной линейной регрессии.

Вначале оценим однородность исходных данных,
для чего рассчитаем коэффициент вариации (см. гл. 6):

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru = 12,99/91 * 100% = 16,04%.

Значение коэффициента вариации менее 30%, что говорит об однородности исходных данных, а следовательно, о возможности построения уравнения регрессии.

Найдем параметры Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru и Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru парной линейной регрессии Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Для этого используем метод наименьших квадратов (МНК). Исходное условие МНК:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Нужно подобрать такую прямую Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , которая отражает минимальность суммы квадратов отклонений фактических значений результативной переменной от ее теоретических значений, получаемых на основе уравнения регрессии.

Для этого воспользуемся системой нормальных уравнений МНК для прямой:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Решая эту систему, можно получить формулы для определения параметров Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru и Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru :

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Используя расчетные данные табл. 1.2, получаем

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Теперь можно записать уравнение парной регрессии:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Параметр Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru выполняет роль доводки до соотношения между средними признаками Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru и Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , никакого экономического смысла в него не вкладывается. Параметр Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru (коэффициент регрессии) показывает, что в среднем с ростом накопленных за семестр баллов на одну единицу оценка растет на 0,069 балла.

Направление связи между признаками Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru и Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru определяет знак коэффициента регрессии Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru . В нашем примере Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , т.е. связь является прямой. Если Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - связь является обратной, т.е. с ростом значений фактора Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru значения результата Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru уменьшаются.

В отличие от коэффициента корреляции коэффициент регрессии является асимметричной характеристикой связи: он характеризует не просто связь между переменными, а зависимость изменения Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru от Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , но не наоборот.

Когда единицы измерения исследуемых показателей различаются, для оценки влияния факторов на результативный признак вычисляют коэффициенты эластичности.

В нашем примере максимально возможное число баллов, которое можно получить на экзамене, равно 5, а максимально накопленное за семестр число баллов равно 100.

Средний коэффициент эластичности для парной линейной регрессии рассчитывается по формуле

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru при изменении факторного признака на 1 % от своего среднего значения.

В нашем примере

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Это означает, что при увеличении накопленных за семестр баллов на 1% оценка за экзамен увеличивается примерно на 15%.

По уравнению Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru рассчитаем ожидаемые (теоретические) значения экзаменационной оценки для каждого студента Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru . Результаты представлены в табл. 8.3. Значения Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru подтверждают, что найденная линия регрессии является наилучшей для аппроксимации исходных данных.

Отклонения фактических оценок от теоретических невелики. Для оценки этих отклонений рассчитывают ошибку аппроксимации. Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по формуле:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Найдем ошибку аппроксимации для нашего примера.

Для этого составим расчетную таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

В нашем примере Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, поскольку ошибка аппроксимации в пределах

6 – 10% свидетельствует о хорошем соответствии модели исходным данным.

В последней графе табл. 1.3 показаны квадраты отклонений фактических значений Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru от расчетных Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru .

Сумма Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru является составляющей общей колеблемости Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , которая в регрессионном анализе представлена следующим образом:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

где Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - общая колеблемость;

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - остаточная колеблемость;

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - колеблемость Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , объясненная уравнением регрессии.

Это разложение вариации зависимой переменной лежит в основе оценки качества полученного уравнения регрессии: чем большая часть вариации Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru объясняется регрессией, тем лучше качество регрессии, т.е. правильно выбран тип функции для описания зависимости Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , правильно выделена объясняющая переменная (признак-фактор) Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru .

Отношение объясненной вариации к общей вариации
позволяет найти коэффициент детерминации

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Этот коэффициент определяет степень детерминации
регрессией вариации Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru .

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется теоретическим корреляционным отношением, он определяет тесноту связи между результативным и факторным признаками при линейной и нелинейной зависимости. Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем связь между признаками теснее.

В нашем примере Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru = 7,5 (табл.1.2) – 1,094 (табл.1.3) = 6,406.

Отсюда Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , или 85%, что совпадает с ранее полученным значением коэффициента детерминации.

В случае высокой детерминации Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru уравнение регрессии может использоваться для прогнозирования зависимой переменной. В этом случае можно предсказать ожидаемое значение Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru по уравнению регрессии на основе ожидаемого значения Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru .

В нашем примере уравнение регрессии позволяет определить ожидаемую экзаменационную оценку на основе суммы накопленных за семестр текущих баллов.

Выполнить регрессионный анализ, можно воспользовавшись ПК и пакетами прикладных программ Excel, EViews, Statgraphics, Statistica и т.д.

Рассмотрим построение парной линейной регрессии с помощью Мiсrоsоft Office Exce12007.

Для этого надо произвести следующие действия.

1.Выбрать Данные ―> Анализ данных ―> Регрессия.

2.В диалоговом окне Регрессиясделать следующее:

- ввести в окне Редактирование Входной интервал Yдиапазон зависимой переменной;

- ввести в окне Редактирование Входной интервал Хдиапазон факторной переменной; .

- установить флажок Метки, если первая строка содержит название столбцов;

- установить флажок Константа-ноль, если в уравнении регрессии отсутствует свободный член Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru ;

- ввести в окне Редактирование Выходной интервал
номер свободной ячейки на рабочем листе;

- нажать кнопку ОК.

В табл. 1.4 представлены результаты расчета с помощью

Мiсrоsоft Office Excel:

а) Регрессионная статистика:

- множественный R - коэффициент корреляции Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru ;

- R-квадрат - коэффициент детерминации Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru ;

- наблюдения - число наблюдений n=8;

б) Дисперсионный анализ:

- столбец df - число степеней свободы.

Для строки Регрессия число степеней свободы определяется количеством параметров тв уравнении регрессии: dfф = т -1.

В нашем примере два параметра: dfф = 2 - 1 = 1.

Для строки Остаток (остаточная вариация) число степе-
ней свободы равно: dfoc= n - т.

В примере: dfoc = 8 - 2 = 6.

Для строки Итого (общая вариация) число степеней свободы равно:

dfy = dfф + dfoc = n - 1.

В примере: dfy= 8 - 1 = 7.

Столбец SS содержит суммы квадратов отклонении.

Для строки Регрессия - это сумма квадратов отклонений теоретических данных от среднего значения:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - колеблемость Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , объясненная уравнением регрессии.

Для строки Остаток - это сумма квадратов отклонений фактических данных от теоретических:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - остаточная колеблемость.

Для строки Итого - это сумма квадратов отклонений фактических данных от среднего значения:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru - общая колеблемость.

В столбце MSпоказаны дисперсии на одну степень свободы:

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Для строки Регрессия - это объясненная (факторная) дисперсия Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , для строки Остаток - это остаточная дисперсия Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru .

В столбце показано расчетное значение F-критерия Фишера Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru , вычисляемое по формуле

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

В столбце Значимость F показан уровень значимости, который зависит от вычисленного значения Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru и числа степеней свободы df (регрессия);

df (остаток) определяется с помощью функции

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

В столбце Коэффициенты показаны значения коэффициентов уравнения регрессии.

В строке Y-пересечение - показано значение параметра а уравнения регрессии, в строке х - значение параметра b.

Как видим, значения в табл. 1.4 совпадают с расчетами,
полученными ранее на калькуляторе.

Таблица 1.4

Уравнение парной линейной регрессии - student2.ru

Наши рекомендации