Тема 7. анализ рядов динамики

7.1. Понятие рядов динамики и их виды.

7.2. Аналитические показатели рядов динамики.

7.3. Сопоставимость рядов динамики.

7.4. Выявление общих тенденций в рядах динамики.

7.5. Изучение сезонных колебаний.

7.1. Социально-экономические явления находятся в непрерывном развитии, изменяется их качественный и количественный состав. Поэтому одной из задач современной статистики входит изучение изменений явлений общественной жизни во времени, в динамике.

Динамика (лат.) – dinamo – движение, развитие.

Эту задачу статистика может решить, основываясь результатами анализа данных, построенных в виде динамических рядов.

Динамический ряд (ряд динамики) – ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующий изменение явлений общественной жизни во времени.

Ряд динамики состоит из двух элементов: уровней ряда (Yили У) - показателей, числовые значения которых составляют динамический ряд и времени (t) - моментов или периодов, к которым относятся данные уровни ряда.

В зависимости от этого ряды классифицируют на ряд расчётных показателей, указывающих на периоды или моменты времени, к которым относятся приводимые данные, и ряд исходных показателей, отражающих размеры изучаемого признака по указанному периоду или моменту времени.

В основные задачи динамических рядов входит: изучение интенсивности изменений в уровнях ряда, их оценка; выявление закономерностей (тенденций) ряда динамики в целом; определений средних показателей ряда и интенсивности развития за период в целом; прогнозирование развития явления; исследование влияния сезонности и его оценка. Чаще всего ряды динамики представляют в виде таблиц.

Уровни ряда могут быть представлены абсолютными (число квартир, тыс.), средними (средний размер квартир) или относительными (удельный вес жилой площади, %) величинами. При этом ряды подразделяют на начальный (У_о) (данные по 1999 г.) и конечный (У_n) (данные по 2002 г).

В зависимости от отношения уровней ряда к моменту или периоду времени, ряды подразделяют на два вида: моментные и интервальные.

Моментные – ряды, уровни которого характеризуют состояние явления на конкретные моменты времени (дату). Они не суммируются, поскольку это приводит к повторному счёту, так как в каждом последующем уровне полностью или частично отражено значение предыдущего ряда (перепись населения).

Интервальные – ряды, уровни которого характеризуют размер явления, достигнутый за определённый период времени (месяц, квартал, год и т.д.). Их можно суммировать (производство электроэнергии (млн. кВт.-час.) за пятилетие). При последовательном суммировании получают данные с нарастающим итогом.

В зависимости от целей и задач исследования, различают варианты сопоставления изучаемого признака с постоянной и переменной базой сравнения.

7.2. В результате сравнивания получают систему абсолютных, относительных (абсолютный прирост, коэффициенты роста и прироста, темпы роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста), а также систему средних уровней ряда динамики для моментных и интервальных рядов, средний абсолютный прирост, средние коэффициент и темп роста, коэффициент и темп прироста, среднее абсолютное значение 1% прироста.

Абсолютный прирост (∆_i) – характеризует размер изменения уровня ряда за определённый промежуток времени. Показывает насколько исследуемый уровень выше или ниже принятого за базу. Вычисляется по формулам:

∆_i ^ц = У_i - У_i-1 (цепной); ∆_i ^б = У_i – У₀ (базисный)

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени: ∑∆_i ^ц = ∆_i ^б

Абсолютный прирост с переменной базой иначе называют абсолютной скоростью или снижением уровня. Может иметь отрицательный знак.

Коэффициент роста (К_р) – отношение двух сравниваемых уровней. Показывает во сколько раз исследуемый уровень превышает базисный, в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый.

Выражается в долях единицы. Вычисляется по формулам: К_р ^ц = У_i / У_i-1 - (цепной); К_р ^б = У_i / У₀ (базисный); К_р = Уn / У₀ (за весь период)

Темп роста (Т_р) – это коэффициент роста, выраженный в процентах. Характеризует интенсивность изменения уровня ряда. Показывает сколько процентов составляет сравниваемый уровень относительно базисного.

Т_р ^ц = У_i / У_i-1 ∙100(цепной); Т_р ^б = У_i / У₀ ∙ 100(базисный)

Т_р ^б = У_n / У₀ ∙ 100(за весь период).Темп роста всегда положительное число.

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определённая взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному показателю за весь период (ПК_р^ц = К_р^б), а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно сответствующему цепному темпу роста.

Темп прироста (Т_пр) – определяет относительную величину прироста и показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень, относительно принятого за базу. Он может быть положительным числом, отрицательным, равным нулю, выражается в процентах. Вычисляется двумя вариантами: как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу - Т_пр^ц = (У_i –У_i-1) / У_i-1 (цепной); Т_пр^б = (У_i –У₀) / У₀ (базисный) и как разность между темпом роста и 100 (Т_р - 100).

Коэффициент прироста, показатель, аналогичный предыдущему, однако выражается в долях единицы. Также может быть получен вычитанием единицы из коэффициента роста.

Абсолютное значение 1% прироста (∆_i1%) – это отношение абсолютного прироста к темпу прироста и равняется одной сотой части предшествующего уровня фактического ряда динамики.

∆_i1% = ∆_i / Т_пр

Выражается в процентах и показывает какое абсолютное значение скрывается за одним процентом прироста (значимость каждого процента).

Коэффициент опережения – отношение базисных темпов роста или прироста двух рядов динамики за одинаковые отрезки времени:К_оп = К_р^' /К_р^" где (Т_р^'›Т_р^") или К_оп = Т_р^' / Т_р^", где (Т_р^'›Т_р^"): К_р^'; К_р^"; Т_р^'; Т_р - соответственно темпы роста и прироста сравниваемых рядов динамики. Он показывает, во сколько раз быстрее происходит изменение одного ряда по сравнению с другим. При этом его удобнее применять, когда наблюдается постоянное повышение, если же нет ярко выраженной тенденции, то за основание можно брать средние показатели. С помощью коэффициента можно сравнивать динамические ряды одинакового содержания, относящиеся к разным территориям, организациям, производствам и т.д.

Ряды динамики необходимо рассматривать как совокупность меняющихся во времени показателей, которые можно обобщить в виде средних величин. Это особенно важно при сравнении изменений изучаемого показателя за разные периоды, в разных странах и т.д.

Средние показатели ряда динамики – это обобщающая характеристика его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения.

Для разных видов рядов динамики средняя рассчитывается неодинаково.

1. В интервальном ряду с равноотстоящимиуровнями, среднюю исчисляют как среднюю арифметическую простую: У_i = ∑ У_i /n, где: У_i – отдельный уровень ряда; n – число уровней.

2. В интервальном ряду с неравноотстоящимиуровнями - по средней арифметической взвешенной - У_i= ∑ У_i ∙ t_i / ∑t_i, где: t – число периодов времени или длительность интервала между уровнями.

3. Для моментного ряда с равноотстоящми уровнями используют среднюю хронологическую: У_i = ½У₁ + У₂ + У₃ +…+ ½У_n / n-1

4. Для моментного ряда с неравными промежутками между датами можно рассчитать среднюю хронологическую взвешенную по величине расстояния между датами: У_i = ∑(У₁+У₂) ∙ t₁ + (У₂+ У₃ ) ∙ t₂ +(У₃+У₄) ∙ t₃ + …+(У_n-1 + У_n) ∙ t_n-1 / 2∑/ t_i

Средний абсолютный прирост – показывает на сколько, в среднем, изменился данный уровень, по сравнению с принятым за базу. Может быть рассчитан с переменной и постоянной базой сравнения:

∆_i^ц = ∑∆_i / n-1 (цепной метод); ∆_i^б = Уn–У₀ / n-1 (базисный метод).

Средний коэффициент (К_р) и темп роста (Т_р) – сводная, обобщающая характеристика интенсивности уровня динамического ряда. Показывает во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень ряда динамики.

Необходимость их исчисления вызвано наличием вариации в величинах темпов роста, отсутствием промежуточных при наличии конечных уровней ряда. В этой связи средние можно определить если в основе коэффициенты роста, рассчитанные цепным методом (У_i^ц = ^n-1√K₁∙K₂∙K₃∙K∙...∙K_n), а также если известны конечные фактические значения уровня ряда и неизвестны промежуточные (У_i^б = ^n-1√У_n / У_o).

Средний коэффициент (К_пр) и темп прироста (Т_пр) - вычисляются на основе средних коэффициентов и темпов роста, вычитанием из последних соответственно 1 и 100% (К_пр = К_р–1иТ_пр = Т_р-100). Если уровни ряда снижаются, то средний темп роста будет меньше 100, а средний темп прироста – отрицательной величиной (средний темп сокращения), что характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

Среднее абсолютное значение 1% прироста - показывает среднее абсолютное значение в одном проценте прироста. Вычисляется отношением среднего абсолютного прироста к среднему темпу прироста (∆_i1% = ∆_i / Т_пр).

7.3. Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней, что очень важно при формулировке верных выводов по результатам анализа, прогнозирования. При этом данные должны быть сопоставимы по кругу охватываемых объектов, времени регистрации, территории, методологии и ценам.

Несопоставимость уровней может возникнуть по различным причинам:

- изменения границ территории, к которой отнесены показатели. Сопоставимость в этом случае предполагает одни и те же границы;

- изменения методологии учёта или расчёта показателей (так ,например, в одни годы урожайность рассчитывалась с засеянной площади в другие с убранной). В этом случае она достигается применением единых методик и способов расчёта;

- изменения даты учёта (учёт животных на 01.10. затем на 01. 01.). Сопоставимостьобеспечивается: для интервальных рядов - равенством периодов времени, за которые приводятся данные, при этом используют средние величины, которые затем сравнивают, для моментных рядов – приводят на одну и ту же дату;

- изменения единиц измерения (производство ткани в погонных метрах, затем в м²,стоимость валовой продукции в текущих ценах и сопоставимых). Сопоставимость достигается однородностью показателей по экономическим элементам, а продукцию, произведенную в разные периоды, оценивают в неизменных, сопоставимых ценах;

- продолжительности периодов (одни уровни по месяцам, другие поквартально).

При анализе ряда необходимо убедиться в сопоставимости его уровней, если же она отсутствует, применяют приём, называемый смыканием рядадинамики. Это способ обработки рядов, которым, в ряде случаев, устраняется несопоставимость. Для его осуществления необходимы сведения об изучаемом признаке в прежних и новых условиях, на основе чего вычисляется коэффициент поправки (сопоставления) (К_с).

Способ приведения рядов динамики к одному основанию применяют в случае, если изучаются уровни рядов, относящихся к разным территориям, объектам или производствам и т.д. При этом к одному и тому же периоду или моменту (начальным уровням), уровни которого принимают за базу сравнения, относят значения всех рассматриваемых периодов. Выражают в коэффициентах, темпах роста или прироста. Для дополнительной оценки интенсивности развития, изучаемой совокупности, вычисляют коэффициент опережения.

7.4. Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней исследуемой совокупности.

На развитие явления во времени оказывают влияние различные факторы. Одни из них постоянно воздействуют, определяя основную закономерность, формируют тенденцию развития, другие носят кратковременный, случайный характер, вызывая тем самым колебания уровней, т.е. можно говорить лишь об общей тенденции - либо к снижению, либо к увеличению.

Тенденция – общее направление к изменению, стабилизации уровней явления во времени.

Основная тенденция развития (тренд) – достаточно плавное, устойчивое изменение уровня явления во времени, относительно свободное от случайных колебаний.

Устранение колебаний, вызванных случайными факторами, изучение основной тенденции в рядах динамики, осуществляется различными методами, наиболее распространённые – метод укрупнения периодов, скользящей средней, аналитического выравнивания.

Во всех случаях вместо фактических уровней вычисляются расчётные, в которых взаимопогашается действие случайных факторов, уменьшая тем самым колеблемость уровней, от чего последние становятся как бы «выровненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным.

Метод укрупнения периодов – наиболее прост. Суть его в преобразовании первоначального ряда динамики в ряд, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам. Эффективен, - если первоначальные уровни относятся к коротким промежуткам времени, поскольку, чем меньше период, за который приводятся данные, тем больше влияние случайных факторов. При необходимости период может быть постепенным – от малых интервалов к всё более продолжительным, пока не проявится тенденция. Средняя по укрупнённым интервалам, будет характеризовать тенденцию развития.

Y_I = Y₁+Y₂+Y₃; Y_II = Y₄+Y₅+Y₆ и т.д.

Метод скользящей средней – подвижная динамическая средняя, исчисляемая, по динамическому ряду, при последовательном передвижении (скольжении) на один интервал и постепенным при этом исключением из системы первого уровня и включением последующего, т.е. сначала определяют среднюю из первых по счёту нескольких (обычно, и удобнее - с нечётным числом) уровней (Y₁+Y₂+Y₃), затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счёту (Y₂+Y₃+Y₄), далее – начиная с третьего (Y₃+Y₄+Y₅)и т.д. Это и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях, при этом рассчитанные скользящие средние относят к средине каждого периода.

Скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, она позволяет уловить особенности изменения тенденции, хотя сглаженный ряд и сокращается с обоих концов на определённое количество уровней.

Рассмотренные приёмы выявления общей тенденции всё же не позволяют в полной мере получить описание тренда. Для этой цели используют аналитическое выравнивание. Этот способ делает более чётким направление основной тенденции и одновременно отражает числовую её характеристику.

Суть выравнивания заключается в замене фактических уровней (Y_i) - теоретическими (выровненными) (Ŷ_t), вычисленными по определённым уравнениям, принятыми за математическую модель тренда, где выровненные уровни рассматриваются как функция времени (t): Ŷ_t = t (f). Расчёт параметров производится с помощью метода наименьших квадратов, когда наилучшим приближением выровненных данных к эмпирическим считается такое, при котором сумма квадратов их отклонений минимальна:∑(у_i – Ŷ_t)² → min.

В зависимости от характера изменения процесса развития явления, аналитическое выравнивание может быть произведено по линейной прямой (Ŷ_t =a₀+ a₁t), показательной функции (Ŷ_t =a₀·a₁^t), гиперболе (Ŷ_t = a₀ +a₁/t), параболе 2-го порядка (Ŷ_t = a₀ + a₁t +a₂t²) и некоторым другим.

Выбор функции осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, а также определённую вспомогательную роль могут играть механические приёмы сглаживания – укрупнение, скользящей средней.

Выравнивание по прямой (Ŷ_t =a₀+ a₁t) используется в тех случаях, когда абсолютные приросты относительно стабильны, а их уровни изменяются в арифметической прогрессии или близко к ней, или нет значительной их колеблемости, при этом параметры a₀иa₁ определяют методом наименьших квадратов, решая систему, состоящую из двух нормальных уравнений:

∑Y=a₀n+a₁∑t ∑ tY = a₀ ∑t + a₁∑t²

где: У –фактические уровни; t – показатель времени, под порядковым номером, начиная от низшего; n – число членов ряда; а₀ – начальный уровень параметра; а₁ – коэффициент изменения; Ŷ_t– “выровненный” уровень

Если наблюдается развитие динамики в геометрической прогрессии, присутствует смена направлений изменения уровней, значительная колеблемость их, или обнаружено замедленное снижение уровней ряда, то используют уравнения кривой более высокого порядка соответственно - показательной, гиперболы, параболы и т.д.

Выявление основной тенденции даёт необходимое условие для прогнозирования, т.е. – предугадывания поведения рядов динамики в будущем. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития определённого периода времени в прошлом, сохраниться на ограниченном отрезке в будущем. Прогноз основан на экстраполяции(продлении) рядов динамики.

Различают перспективное прогнозирование и ретроспективное.

Теоретической основой распространения тенденции на будущее является известное свойство явлений динамики – инерционность. Чем шире временные рамки прогнозирования, тем менее надёжно простое экстраполирование, поскольку динамичность экономических явлений вступают в противоречие с инерционностью развития, и чем короче срок экстраполяции, тем надёжнее результаты прогноза.

7.5. В рядах динамики, уровни которых являются помесячными либо поквартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются и сезонные колебания – сравнительно устойчивые внутригодичные колебания (периодически повторяющиеся из года в год повышение или снижение) уровней явления в отдельные периоды (месяцы, кварталы) года.

Они обычно отрицательно влияют на результаты производственной деятельности, нарушая его ритмичность и стабильность. Для смягчения принимают меры рационального сочетания отраслей, использования ресурсов. Поэтому в задачи статистики входит выявление таких явлений и их измерение. Явление сезонности необходимо рассматривать за ряд лет, не менее трёх.

Наличие сезонных колебаний можно рассматривать с применением графического метода, дающего более наглядное представление о сезонной волне, а также при помощи индексов сезонности (I_с) – процентного соотношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней и теоретических (расчётных), выступающих в качестве базы сравнения.

Их расчёт выполняют несколькими методами.

1. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции, а годовые уровни остаются относительно постоянны, вычисление производится непосредственно по эмпирическим данным (метод постоянной средней):

I_s = Y_i / Y_o×100, где: Y_i-средняя из фактических одноимённых месяцев;

Y_o – общая средняя за рассматриваемый период.

Индексы сезонности вычисляют в несколько этапов: а) определяется средний уровень для каждого месяца по всему рассматриваемому периоду, что позволит избавиться от случайных колебаний месячных уровней по годам;

б) определяется общая средняя за весь период (делением общего объёма явления на число месяцев, при расчёте колебаний на основе среднесуточных уровней – на число календарных дней периода); в) исчисляют индексы по приведенной формуле с соответствующими выводами и предложениями.

2. Если уровни проявляют тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянной средней могут исказить сезонные колебания. В этих случаях фактические данные, сопоставляются с выравненными - по определённой аналитической формуле: I_s = Y_i / Ŷ_t×100, где: Y_i-средняя из фактических одноимённых месяцев за рассматриваемые годы;Ŷ_t – средняя из сглаженных (выровненных) уровней одноимённых месяцев за рассматриваемые годы.

Рассчитывают в следующей последовательности: а) определяют средний уровень для каждого месяца по всему периоду; б) производят аналитическое выравнивание или сглаживание 12-месячной скользящей средней; в) определяют для каждого месяца среднюю из выровненных уровней по всему периоду; г) на основе полученных данных, исчисляют индексы для каждого месяца.

Для сопоставления величины сезонных колебаний по нескольким объектам или периодам, производят измерение её колеблемости, вычислением среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации соответственно: σ_s = √∑(Y_i – Ŷ_t)² / nи V_{σ =} σ_s / Y_ср. или σ_s = √∑(I_s –100)² / n

Чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем меньше величина сезонных колебаний.