Формула полной вероятности и формула байеса

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности
, (9)
где - вероятность гипотезы ; - условная вероятность события А при этой гипотезе, . Вероятность гипотезы после того, как появилось событие А, определяется по формуле Байеса
(10)

Пример 9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей - заводом №2 и 18 деталей - заводом №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, - отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

Решение. Пусть событие А={деталь отличного качества}. Рассмотрим гипотезы: ={деталь изготовлена заводом №1}; = {деталь изготовлена заводом №2};
={ деталь изготовлена заводом №3}. Вероятности этих гипотез: . Условные вероятности: . По формуле полной вероятности (9) при n=3 находим искомую вероятность .

Пример 10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока.

Решение. Событие А={кинескоп проработает гарантийный срок}. Гипотезы ={выбран k-й кинескоп} (k=1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т.е. . Условные вероятности . По формуле полной вероятности (9) при n=4 находим искомую вероятность события А
.

Пример 11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть корабль гибнет с вероятностью 0,6, при попадании в подводную часть - с вероятностью 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную - 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы.

Решение. Событие А={гибель корабля}. Формулируем гипотезы: ={попадание бомбы в надводную часть корабля}; ={попадание бомбы в подводную часть корабля}. По условию вероятности гипотезы соответственно равны: . Условные вероятности события А будут такими: . Тогда:

Пример 12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц: P(A)=0,2; P(B)=0,5; P(C)=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.

Решение. Обозначим событие D={счетчик уловил частицу}. Гипотезы: ={появление частицы типа А}; ={появление частицы типа В}; ={появление частицы типа С}. Вероятности гипотез: . Условные вероятности: . Искомую вероятность определим по формуле Байеса (10)

Пример 13. Сборщик получает 50% деталей завода №1, 30% - завода №2, 20% - завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 - отличного качества, равна 0,7; завода №2 - 0,8; завода №3 - 0,9. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1.

Решение. А={деталь отличного качества}. Гипотезы: ={деталь изготовлена заводом №k), k=1,2,3. Вероятности этих гипотез: . Условные вероятности: . Искомую вероятность определим по формуле Байеса
.

ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

Формула Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли
. (11)

Формула Пуассона

Если n велико, а p мало ( обычно p<0,1; npq£9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
, (12)
где l=np.