Гармонические колебания

Задача

Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения.

Пример решения

0

Рисуем стержень в отклоненном положении, чтобы

было удобно записать выражение для момента

j силы в законе динамики вращательного движения:

Jd²j/dt² = SM = -mg(L/2)sinj - mgLsinj

mgЗдесь J – момент инерции всей системы

относительно точки 0. J = mL²/3 + mL² = 4mL²/3.

Два слагаемых в правой части закона динамики

mgсоответственно моменты сил тяжести стержня и точечного тела на его конце. Уравнение движения получаем в следующем виде:

d²j/dt² + 3mgLsinj /2J = 0

Уравнение нелинейно. Полагаем sinj » j. Тогда

d²j/dt² + (3mgL/2J)j = 0.

Поскольку дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид d²j/dt² + w₀²j = 0, то

w₀² = 3mgL/2J.

Варианты

1.10.Физический маятник представляет собой тонкий однородный

стержень длиной L и массой m с укрепленным на нем на конце

маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания

около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на

стержне. Определить круговую частоту собственных

колебаний методом вывода дифференциального уравнения.

Ось вращения отстоит от конца стержня на треть длины.

2.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на четверть длины.

3.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на одну пятую длины.

4.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на одну шестую длины.

5.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на треть длины.

6.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на треть длины.

7.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на конце стержня. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения.

8.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный

стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце

маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания

около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на

стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний

методом вывода дифференциального уравнения. Ось

вращения отстоит от конца стержня на четверть длины.

9.9. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на одну пятую длины.

9.10. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний методом вывода дифференциального уравнения. Ось вращения отстоит от конца стержня на треть длины.

10.10.Физический маятник представляет собой тонкий однородный

стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце

маленьким шариком массой 3m. Маятник совершает колебания

около горизонтальной оси, проходящей через точку 0 на

стержне. Определить круговую частоту собственных колебаний

методом вывода дифференциального уравнения. Ось

вращения отстоит от конца стержня на треть длины.