Равносторонняя гипербола

Среди класса нелинейных функций, параметры которой без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу. Для нее, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии

у = а + вz

Гипербола может быть использована не только для характеристики удельных затрат с объемами производства, как уже указывалось ранее. Примером ее использования может служить также взаимосвязь доли расходов на определенные группы товаров (продовольственные, непродовольственные, товары длительного пользования) с общей суммой доходов. Подобного рода взаимосвязи получили название кривых Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля затрат на продовольствие уменьшается. Соответственно, возрастает доля расходов на непродовольственные товары.

Допустим, вы исследуете соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом, и наблюдения приведены в табл.4. 1, где собраны наблюдения для 10 семей.

Таблица 4.1

Семья	Бананы (в фунтах) (у)	Доход (в 1000 долл.) (х)	( z )
	1,93		1,000
	7,13		0,500
	8,78		0,333
	9,69		0,250
	10,09		0,200
	10,42		0,167
	10,62		0,143
	10,71		0,125
	10,79		0,111
	11,13		0,100

На рис.4.2. представлено облако точек, соответствующих наблюдениям, а также график уравнения регрессии между у и х

= 5,09 + 0,73 х ; R²= 0,64. 4.7.

Стандартные ошибки (1,23) (0,20)

Из рисунка видно, что график уравнения регрессии не вполне соответствует точкам наблюдений, несмотря на то, что коэффициент при х существенно отличается от нуля при однопроцентном уровне значимости. Очевидно, что точки наблюдений лежат на кривой, тогда как уравнение регрессии характеризуется прямой. В данном случае нетрудно заметить, что функциональная зависимость между у и х определена неправильно.

В том случае, если вы не можете представить зависимость в графическом виде ( например, если вы используете множественный регрессионный анализ), понять, что где то допущена ошибка, можно с помощью анализа остатков. В данном случае значения остатков приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Семья	у		е
1	2	3	4
	1,93	5,82	- 3,90
	7,13	6,56	0,57
	8,78	7,29	1,49
	9,69	8,03	1,67
	10,09	8,76	1,33

Продолжение табл. 4.2.

1	2	3	4
	10,42	9,50	0,93
	10,62	10,23	0,39
	10,71	10,97	- 0,26
	10,79	11,70	- 0,91
	11,13	12,43	- 1,31

Положительные или отрицательные, большие или малые остатки должны чередоваться случайным образом. Здесь же, как видно из таблицы, сначала остатки отрицательны, затем они становятся положительными, достигают максимума, а потом снова уменьшаются и становятся отрицательными: это представляется сомнительным.

В данном примере соотношение имеет вид:

у = 12 - 4.8.

где х принимает целые значения от 1 до 10. Если мы знаем это и определим z = 1/ х, то уравнение примет линейный вид (4.7.) . Значение z для каждой семьи уже подсчитано в таблице 4.1. Оценив регрессию между y и z , получим

= 12, 08 - 10, 08 z ; R² = 0, 9989

Стандартные ошибки (0, 04) (0,12 ) 4.9.

Подставив z = 1 / x , имеем

4.10.

С учетом высокого качества оцененного уравнения 4.9. неудивительно, что соотношение (4.10) близко к истинному уравнению 4.8 На рис. 4.3 и 4.4 показаны регрессионная зависимость и точки наблюдений для у, х и z.

Улучшение качества уравнения, измеряемого с помощью коэффициента R², отражено в более полном соответствии графиков. Сравните графики на рис. 4.2. и 4.4.

Степенная функция.

Рассмотрим далее функции вида

у = aх ^b 4.11.

которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным. Данное соотношение может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, знакомых вам из курса математики. Ниже приведем основные свойства логарифмов, которые помогут вам в преобразованиях нелинейных уравнений.

Основные правила гласят :

1. Если у = х z , то log y = log x + log z .

2. Если y = x / z , то log y = log x - log z.

3. Если y = x ⁿ, то log y = n log x.

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, если у = a х ^b , то по правилу 1 :

log y = log a + log x ^b и по правилу 3

= log a + b log x.

Если обозначить у¹ = log (y) , z = log x и a ¹ = log a , то уравнение (4.11) можно переписать в следующем виде:

у ¹ = a¹ + b z 4.12.

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у ¹ и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у¹ от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственную оценку b. Постоянный член является оценкой a¹, то есть log a. Для получения оценки a необходимо взять антилогарифм, то есть выполнить обратное действие.