Каждое измерение повторяется 5 раз
2. Вычисление основных статистических показателей:
1) среднее арифметическое ( 
) по формуле (1);
2) среднее квадратическое (или стандартное) отклонение ( 
) по формуле (2);
3) стандартная ошибка среднего арифметического (mX) по формуле (3);
4) коэффициент вариации (V) по формуле (5).
3. Полученные данные заносятся в таблицу 1:
Таблица 1.
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | | | mX | V | |
| ЧСС, уд/мин | |||||||||
| АДс, мм рт.ст. | |||||||||
| АДд, мм рт.ст. | |||||||||
| Та, с | |||||||||
| Тб, с |
4. Вывод.
В выводе сделайте заключение о возможных причинах колебаний значений сравниваемых величин. Сравните точность проведенных измерений и обоснуйте заключение.
Контрольные вопросы.
1. Что такое измерение?
2. Классификация погрешностей.
3. Методы предотвращения возникновения погрешностей.
4. Статистические характеристики вариационного ряда.
Практическая работа № 2.
Тема: Расчет рангового коэффициента корреляции параметров в шкале порядка.
Цель: научиться выявлять корреляционную связь между признаками с помощью рангового коэффициента корреляции, уметь оценивать ее достоверность и использовать эту связь в практических рекомендациях.
Теоретические сведения.
Шкалы измерений.
Шкала наименований (номинальная шкала).
Это самая простая из всех шкал. В ней числа выполняют роль ярлыков и служат для обнаружения и различения изучаемых объектов (например, нумерация игроков футбольной команды). Числа, составляющие шкалу наименований, разрешается менять местами. В этой шкале нет отношений типа "больше – меньше", поэтому некоторые полагают, что применение шкалы наименований не стоит считать измерением. При использовании шкалы наименований могут проводиться только некоторые математические операции. Например, ее числа нельзя складывать и вычитать, но можно подсчитывать, сколько раз (как часто) встречается то или иное число.
Шкала порядка.
Есть виды спорта, где результат спортсмена определяется только местом, занятым на соревнованиях (например, единоборства). После таких соревнований ясно, кто из спортсменов сильнее, а кто слабее. Но насколько сильнее или слабее, сказать нельзя. Если три спортсмена заняли соответственно первое, второе и третье места, то каковы их различия в спортивном мастерстве, остается неясным: второй спортсмен может быть почти равен первому, а может быть существенно слабее его и быть почти одинаковым с третьим. Места, занимаемые в шкале порядка, называются рангами, а сама шкала называется ранговой или неметрической. Т.е. ранг – это порядковый номер места в неметрической шкале. В такой шкале составляющие ее числа упорядочены по рангам (т.е. занимаемым местам), но интервалы между ними точно измерить нельзя. В отличие от шкалы наименований шкала порядка позволяет не только установить факт равенства или неравенства измеряемых объектов, но и определить характер неравенства в виде суждений: "больше – меньше", "лучше – хуже" и т.п.
С помощью шкал порядка можно измерять качественные, не имеющие строгой количественной меры, показатели. Особенно широко эти шкалы используются в гуманитарных науках: педагогике, психологии, социологии. К рангам шкалы порядка можно применять большее число математических операций, чем к числам шкалы наименований.
В математической статистике шкала порядка занимает довольно большое место. Для нее разработаны различные математические методы вычислений, которые несколько отличаются от привычных вычислений с числами, заданными в шкале отношений. Изучение этих методов применительно к задачам спортивных измерений представляет большой интерес,
В настоящей методической разработке рассматривается метод расчета степени корреляционной зависимости между параметрами, числовые значения которых заданы в шкале порядка.
Шкала интервалов.
Это такая шкала, в которой числа не только упорядочены по рангам, но и разделены определенными интервалами. Особенность, отличающая ее от описываемой дальше шкалы отношений, состоит в том, что нулевая точка выбирается произвольно. Примерами могут быть календарное время (начало летоисчисления в разных календарях устанавливалось по случайным причинам), суставной угол (угол в локтевом суставе при полном разгибании предплечья может приниматься равным либо нулю, либо 180о), температура, потенциальная энергия поднятого груза, потенциал электрического поля и др. Результаты измерений по шкале интервалов можно обрабатывать всеми математическими методами, кроме вычисления отношений. Данные шкалы интервалов дают ответ на вопрос "на сколько больше?", но не позволяют утверждать, что одно значение измеренной величины во столько-то раз больше или меньше другого. Например, если температура повысилась с 10о до 20о по Цельсию, то нельзя сказать, что стало в два раза теплее.
Шкала отношений.
Эта шкала отличается от шкалы интервалов только тем, что в ней строго определено положение нулевой точки. Благодаря этому шкала отношений не накладывает никаких ограничений на математический аппарат, используемый для обработки результатов наблюдений.
В спорте по шкале отношений измеряют расстояние, силу, скорость и десятки других переменных. По шкале отношений измеряют и те величины, которые образуются как разности чисел, отсчитанных по шкале интервалов. Так, календарное время отсчитывается по шкале интервалов, а интервалы времени – по шкале отношений.
При использовании шкалы отношений (и только в этом случае!) измерение какой-либо величины сводится к экспериментальному определению отношения этой величины к другой подобной, принятой за единицу. Измеряя длину прыжка, мы узнаем во сколько раз эта длина больше длины другого тела, принятого за единицу длины (метровой линейки в частном случае); взвешивая штангу, определяем отношение ее массы к массе другого тела – единичной гири "килограмма" и т.п. Если ограничиться только применением шкал отношений, то можно дать другое (более узкое, частное) определение измерению: измерить какую-либо величину — значит найти опытным путем ее отношение к соответствующей единице измерения.
В таблице 2 приведены сводные сведения о шкалах измерения.
Таблица 2.
Шкалы измерений.
| Шкала | Основные операции | Допустимые математические процедуры | Примеры |
| Наименований | Установление равенства | Число случаев Мода Корреляция случайных событий | Нумерация спортсменов в команде Результаты жеребьевки |
| Порядка | Установление соотношений "больше" или "меньше" | Медиана Ранговая корреляция Ранговые критерии Проверка гипотез непараметрической статистикой | Место, занятое на соревнованиях Результаты ранжирования спортсменов группой экспертов |
| Интервалов | Установление равенства интервалов | Все методы статистики кроме определения отношений | Календарные даты (время) Суставной угол Температура тела |
| Отношений | Установление равенства отношений | Все методы статистики | Длина, сила, масса, скорость и т.п. |
Корреляционная связь.
В природе многие явления и процессы взаимосвязаны между собой. В физической культуре и спорте, в спортивной команде и в организме спортсмена тоже существует много взаимосвязей между различными признаками. Например, с повышением количества занимающихся в каком-либо виде спорта повышаются результаты в этом виде; осложнения во взаимоотношениях между игроками одной команды ухудшает ее результативность; с повышением интенсивности нагрузки у спортсмена повышается пульс, увеличивается скорость кровотока в работающих мышцах, уменьшаются в них энергетические ресурсы; регулярность тренировок, оптимально подобранные нагрузки по их виду, объему и интенсивности улучшают результаты спортсмена и т.д.
Влияние одних признаков на другие может быть положительным и отрицательным. Грамотный специалист должен хорошо разбираться в таких взаимосвязях в своей области, устранять или уменьшать негативное влияние и уметь своевременно и в достаточной мере использовать полезные взаимосвязи.
Некоторые методы математической статистики могут помочь любому специалисту выявить взаимосвязи, раскрыть их особенности. Одним из таких методов и является метод корреляционного анализа. Он направлен на то, чтобы на основе статистического материала выявить факт влияния одного признака на другой, установить полезность или вред этого влияния и оценить уверенность в полученных выводах.
Будем говорить, что между двумя признаками Х и У существует корреляционная зависимость (взаимосвязь), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения признака У, и наоборот.
Для различия направленности влияния одного признака на другой введены понятия положительной и отрицательной связи.
Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.
Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.
При постановке вопроса о корреляционной зависимости между двумя статистическими признаками Х и Y проводят эксперимент с параллельной регистрацией их значений.
Часто для определения достоверности взаимосвязи между двумя признаками(Х и Y) используютнепараметрический (ранговый) коэффициент корреляции Спирмена. Вычисление данного коэффициента корреляции основано на определении разности рангов по каждой паре параметров для одного объекта. Величина этого показателя корреляционной связи определяется по формуле (6):
(6)
где: dx — ранги статистических данных признака х;
dy — ранги статистических данных признака у.
n — число коррелируемых пар статистических данных признаков Х и Y
Этот коэффициент обладает такими мощными признаками:
1. На основании коэффициента корреляции можно судить только о прямолинейной корреляционной взаимосвязи между признаками.
2. Значения коэффициента корреляции есть безразмерная величина, которая не может быть меньше -1 и больше +1, т.е.
3. Если значение коэффициента корреляции равно нулю, то связь между признаками Х и Y отсутствует.
5. Если значение коэффициента корреляции отрицательное, то связь между признаками Х и Y обратная.
6. Если значение коэффициента корреляции положительное, то связь между признаками Х и Y прямая (положительная).
7. Если коэффициент корреляции принимает значения +1 или -1, то связь между признаками Х и Y линейная (функциональная).
8. Только по величине коэффициента корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Эта достоверность еще зависит от числа степеней свободы. Она определяется по формуле (7).
ν = n – 2 (7)
Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же коэффициенте корреляции.
Если коэффициент корреляции при расчете получился отличным от нуля, то из этого еще нельзя сделать вывод о том, что коэффициент корреляции генеральной совокупности так же отличается от нуля.
Для того чтобы окончательно убедиться в наличии статистической зависимости между параметрами, проводят проверку достоверности выборочного коэффициента корреляции.
При оценке статистической достоверности коэффициентов корреляции наиболее часто встают два вопроса:
1) существенно ли отличается ли данный коэффициент от нуля (т.е. существует ли статистическая зависимость между явлениями?)?
2) в каких доверительных границах лежит истинный коэффициент корреляции в генеральной совокупности?
В практике ФКС оценка статистической достоверности различий выборок означает решение множества практических задач. Например, введение новых методик обучения, программ, комплексов упражнений, тестов, контрольных упражнений связано с их экспериментальной проверкой, которая должна показать, что испытуемая группа принципиально отличается от контрольной. Поэтому применяют специальные статистические методы, называемые критериями статистической достоверности, позволяющие обнаружить наличие или отсутствие статистически достоверного различия между выборками. Критетий Стьюдента,названный в честь английского ученого К. Госсета (Стьюдент – псевдоним), открывшего данный метод, наиболее часто применяется на практике.
Критерий Стьюдента определяется по формуле (8):
(8)
далее с учетом числа степеней свободы по таблице определяют критическое значение критерия Стьюдента tкр.
Если tρ>tкр, то делают вывод о том, что выборочный коэффициент ρ значимо отличается от нуля и данные параметры действительно связаны корреляционной зависимостью.
Если tρ≤tкр, отличие коэффициента ρ от нуля незначительны и корреляционной связи между показателями не существует.
Пример.
Существует ли взаимосвязь между результатами прыжка в длину с разбега (X) и конечной скоростью разбега (Y) группы спортсменов?
В формуле (6) dx и dy ранги статистических данных, т.е. места вариант в их ранжированной совокупности. Если в совокупности несколько одинаковых данных, то их ранги равны и определяются как среднее значение от мест, занимаемых этими вариантами. Например,
Таблица 3.
| Данные xi | ||||||||||||||
| Ранги dx | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 7,5 | 7,5 | ||||||||
| 3 + 4 + 5 + 6 | 7 + 8 | |||||||||||||
Пользуясь правилом таблицы 3, определим ранги данных. Для удобства все запишем в виде таблицы 4.
Таблица 4.
| Х, см |  | ||||||||
| У, м/с | 9,1 | 9,6 | 9,8 | 10,1 | 10,5 | 10,5 | 10,3 | 10,7 | |
| dx | |||||||||
| dy | 2,5 | 2,5 | |||||||
| dx-dy | 1,5 | 0,5 | -2 | ||||||
| (dx-dy)2 | 2,25 | 0,25 | 6,5 |
В данном случае имеем 8 пар значений, т.е. 8 коррелируемых пар. Значит n=8. Подставив полученное в формулу (6), будем иметь:
Определяем статистическую достоверность коэффициента корреляции использую критерий Стьюдента по формуле (8).
Определяем число степеней свободы по формуле (7)
ν =8-2=6
В таблице 5 находим значение tкр, которое в данном случае равно 2,45.
Таблица 5.
| ν | ||||||||||
| tкр | 12,71 | 4,30 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,36 | 2,31 | 2,26 | 2,71 |
tкр=2,45
Вывод: т.к. значение коэффициента корреляции положительное (0,92 > 0), то между признаками Х и Унаблюдается прямая связь, т.е. с увеличением скорости разбега (признак У) увеличивается длина прыжка (признак Х), и наоборот – с уменьшением скорости разбега уменьшается длина прыжка;
т.к. tρ>tкр, 5,81>2,45, выборочный коэффициент ρ значимо отличается от нуля и данные параметры действительно связаны корреляционной зависимостью.
Ход работы:
1. Условие задачи записать в первые 2 строки таблицы 4 (Х и Y).
2. Проранжировать показатели Х и Y. Ранги записать в строки dx и dy.
3. Рассчитать ρ по формуле (6).
4. Рассчитать tρ по формуле (8).
5. Определить число степеней свободы ν по формуле (7).
6. Найти в таблице 5 значение tкр.
7. Сделать выводы о характере взаимосвязи показателей и о статистической достоверности полученного коэффициента корреляции.
Следующие задачи предлагается решить студентам самостоятельно:
Задача №1.
У 10 велосипедистов зафиксированы элемент тренировочной нагрузки за время (с) выполнения 30 оборотов педали хі и спортивный результат за время прохождения 200м дистанции уі (с). Влияет ли элемент тренировочной нагрузки на спортивный результат?
| № | |||||||
| Х | 10,5 | 10,5 | 10,3 | ||||
| У | 17,1 | 18,3 | 17,9 | 17,8 | 17,9 |
Задача №2.
Выявите взаимосвязь между средней скоростью бега хі (м/с) и максимальной частотой шагов уі (с-1) у спортсмена.
| № | ||||||||
| Х | 5,8 | 6,7 | 5,9 | 6,6 | 6,0 | 6,5 | 6,2 | 6,3 |
| У | 2,6 | 3,3 | 2,7 | 3,2 | 2,8 | 3,0 | 2,8 | 2,9 |
Задача №3.
У легкоатлетов измерена ЧСС после максимально быстрого преодоления дистанции в состоянии покоя. Разность ЧСС хі (уд/мин) характеризует возможность организма к преодолению пройденной дистанции; время забега на данную дистанцию выражено через уі . Влияет ли показатель хі на спортивный результат?
| № | ||||||||
| Х | ||||||||
| У | 12,2 | 12,1 | 12,2 | 11,8 | 11,8 | 12,1 | 11,6 | 12,0 |
Задача №4.
Соревнуясь по художественной гимнастике, 10 участниц в турнирной таблице заняли следующие места: в возрасте 11 лет хі и в возрасте 12 лет уі. Существует ли связь между этими покалзателями?
| № | ||||||||||
| Х | ||||||||||
| У |
Задача №5.
На соревнованиях в одиночном катании зафиксированы показатели 10 фигуристов в выполнении обязательных хі и произвольных уі. упражнениях. Оцените связь между этими показателями.
| № | ||||||||||
| Х | ||||||||||
| У |
Задача№6.
У 7 тяжелоатлетов исследуется величина мышечной силы. Перед соревнованиями измерены показатели силы, в соответствии с которыми спортсмены были распределены по местам хі . на соревнованиях спортсмены заняли места уі . влияют ли условия увеличения мышечной массы на спортивный результат?
| № | |||||||
| Х | |||||||
| У |
Задача №7.
У бойцов оценен уровень специальной выносливости, в соответствии с которым они распределены по местам хі . При подведении итогов соревнований спортсмены заняли места уі . Влияет ли уровень развития специальной выносливости на спортивный результат?
| № | |||||||
| Х | |||||||
| У |
Задача №8
До начала хі и после подготовительного этапа тренировочного цикла уі в команде баскетболистов фиксировалась результативность выполнения бросков в %. Определить значимость различных состояний команды.
| № | ||||||||
| Х | ||||||||
| У |
Контрольные вопросы.
1. Шкалы измерений.
2. Корреляционная связь.
3. Свойства коэффициента ранговой корреляции.
4. Критерий Стьюдента.