Векторы на плоскости и в пространстве

Работа с текстом учебника: Л.С.Атанасян и др., Геометрия 10-11, «Просвещение» Москва 2010, глава 5, &1, п.42,43,44.

Выпишите в тетрадь для домашних работ примеры задач из этих пунктов.

Дополнительная литература:

1. А.В. Погорелов, «Геометрия 10-11», Москва «Просвещение» 1991, &18.

2. А.А.Дадаян, «Математика», Москва, «Форум – Инфра – М», 2005, глава 3.

3. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике», Москва «Высшая школа», 1983, глава 17.

Основные формулы:

1. A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) – координаты начала и конца. - длина вектора АВ.

2. а(а₁,а_2,а₃), - длина вектора а.

3. a(a₁,a₂,a₃), b(b₁,b₂,b₃) . ----- скалярное произведение векторов.

4. -вычисление угла между векторами. Если - условие перпендикулярности векторов.

5. Любой вектор а можно разложить по ортам (единичным векторам: I,j,k).

a=xi+yj+zk, где x,y,z – координаты вектора а .

6. - косинусы углов между вектором a(x,y,z) и осями координат (направляющие косинусы вектора). Выведи их самостоятельно.

Указания: при вычислении косинуса угла между вектором а и осью абсцисс, работай с вектором а и единичным вектором i и т.д.(i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1).

Примеры решения типовых задач.

условие задачи	вопрос	решение
1. а(1,-4,3)	Найдите длину вектора а.
2. А(0,3,2), В(-1,5,1)	Найдите длину вектора АВ.
3. а(1,2,3), b(к,0,-5)	Найдите к, зная что векторы а и b перпендикулярны.
4. a(1,2,3), b(n,4,6)	Найдите n, зная что векторы коллинеарны.	У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. Составим пропорцию:
5. Даны вершины треугольника: А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0).	Найдите косинус угла С.
6. a(1;-2;6)	Найдите координаты вектора 2a.	2a(2;-4;12)
7. a(1,0,7),b(5,2,1)	Найдите длину вектора суммы.	Найдём координаты вектора суммы: (a+b)=(6;2;8)

Задачи для самостоятельного решения:

1. Учебник: Л.С.Атанасян и др., Геометрия 10-11, Москва «Посвещение» 2010: № 409, 410,412,419,418,449,464.

2. Изобразите произвольный треугольник АВС. Выразите его медианы через стороны АС и АВ (используйте правила сложения и вычитания векторов: треугольника и параллелограмма).

3. Изобразите произвольный параллелограмм АВСД. Векторным способом (как в задаче 2) выразите диагонали через стороны АВ и АД.

Дополнительные задачи:

1. Найдите скалярноепроизведение векторов если известно что и угол между векторами m и n равен 120 градусов.

1)-1; 2)10; 3)-10; 4) 16; 5)29.

2. Вектор а составляет с положительным направлением оси абсцисс угол 135градусов. Найдите абсциссу вектора а,если известно, что его длина равна

1)1/4; 2)1/2; 3)2; 4)-2; 5)-1/2.

3. Вектор m составляет с положительным направлением оси OZ угол 150 градусов.

Найдите координату z вектора m, если известно, что его длина равна

1)6; 2)12; 3)16; 4)-6; 5)-12.

4. Вектор а составляет с положительным направлением оси ординат угол

Найдите координатуy вектора а, если известно, что его длина

равна

Дополнительное задание:

Подготовка доклада на тему: «Векторные величины».

Тема 2.3. Геометрические тела.

Многогранники.

Теоретические вопросы:

1. Объясните, что такое двугранный, трёхгранный угол?

2. Что такое многогранник?

3. Сформулируйте определение призмы, пирамиды, их элементов.

4. Какая призма называется правильной?

5. Какая пирамида называется правильной?

6. Перечислите пять типов правильных многогранников, и опишите их.

7. Назовите формулы для вычисления объёмов призмы, пирамиды.

Литература: «Геометрия 10-11», Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., Москва «Просвещение», 2010, глава 3, глава 7, &1,2,3.

Задачи для решения: №665, 649, 653. Таблица 11.8, 11.18.

Это интересно!

Все правильные многогранники были известны ещё в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-ая книга знаменитых «НАЧАЛ» Евклида. Эти многогранники часто называют Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном; четыре из них олицетворяли стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, а додекаэдр символизировал всё мироздание – его по-латыни стали называть quinta essential («пятая сущность»).

Лабораторная работа: «Моделирование и вычисление объёма и площади поверхности призмы, пирамиды».

Указания по моделированию многогранников.

1. Выберите вид призмы ( пирамиды).

2. На картоне (твёрдой цветной бумаге) изобразите окружность; разделите её на нужное количество частей – основание призмы

( пирамиды).

3. Сделайте боковую поверхность.

4. Склейте основания (е) и боковую поверхность .

5. Вычислите площадь поверхности и объём полученных призмы и пирамиды.

6. Размеры многогранника: сторона основания не менее 4 см, высота не менее 5 см.

Дополнительные задания:

1. Подготовка доклада (презентации) на тему: «Интересное о пирамидах».

2. Подготовка доклада (презентации) на тему: «Правильные многогранники в природе».

3. Сделайте многогранник из правильных многоугольников. Например, из квадратов и треугольников, из пятиугольников и шестиугольников и т. д.

Тела вращения.

Теоретические вопросы.

1. Приведите примеры тел вращения. Почему их так называют?

2. Какой цилиндр называется прямым?

3. Что такое конус, усечённый конус, шар?

4. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?

5. Какая призма называется вписанной в цилиндр ( описанной около цилиндра)?

6. Какая пирамида называется вписанной в конус?

7. Выведите формулы для вычисления объёмов тел вращения (цилиндра, конуса, шара) с помощью определённого интеграла.

Литература: «Геометрия 10-11», Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., Москва «Просвещение», 2010: глава 6,глава 7, &1,2,3.

Задачи для решения: №665, 649, 653. Таблица 11.8, 11.9.

Лабораторная работа: «Моделирование и вычисление объёма и площади поверхности цилиндра, конуса».

Указания по моделированию тел вращения.

Сделайте чертёж, изготовьте модели следующих тел вращения ( два любых тела вращения).

1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла, параллельно противолежащему катету.

2. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу.

3. Тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, содержащей большее основание.

4. Тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, содержащей меньшее основание.

5. Тело, полученное вращением равностороннего треугольника вокруг прямой, содержащей одну из сторон треугольника.

6. Вычислите объёмы и площади поверхностей моделей.