Тестирование свойств фактической ошибки эконометрической модели

На практике справедливость предпосылок (2.21) и (2.22) можно подтвердить или опровергнуть только путем анализа свойств фактической ошибки е_t, после оценки ее значений. В таком случае фактическая ошибка рассматривается как оценка истинной ошибки и выполнение для нее этих предпосылок может рассматриваться в качестве доказательства их обоснованности, а, следовательно, и достаточно высокого качества оценок параметров эконометрической модели.

Заметим, что условие (2.21) s_e²= const нельзя интерпретировать как постоянство значений ½e_t½ для t=1, 2,..., Т. Оно лишь означает, что дисперсия истинной ошибки e_t является постоянной величиной на любом из отрезков рассматриваемого временного интервала (1,Т). В этой связи проверка условия (2.21) может быть идентична проверке гипотезы о постоянстве дисперсии фактической ошибки е_t на различных отрезках интервала (1,Т). Такая проверка обычно проводится с использованием соответствующих тестов.

1. Тестирование условия постоянства дисперсии ошибки модели.

Проверку гипотезы s_e²=const (выражение (2.21)) можно провести с использованием расчетных значений ошибки е_t на основе, например, двустороннего критерия Фишера. Общая схема реализации процедуры такой проверки состоит в следующем. Интервал (1,Т) разбивается на три интервала (1,Т₁), (Т₁+1, Т₂), (Т₂+1, Т). При этом первый и третий интервалы обычно выбираются одинаковой длины. В моделях со статической информацией соответственно на три группы разбивается исходная совокупность объектов, которые в данном случае должны быть расположены в порядке возрастания (или убывания) результирующей переменной y_t. Для данных, соответствующих первому и третьем интервалам, строятся эконометрические модели, аналогичные исходному варианту. Для каждой из них определяются последовательности ошибки е_t – е₁, е₂,..., и е_Т соответственно.

Для первого и третьего интервалов на основании известных значений ошибки, рассчитываются дисперсии

s_1e²= и s_3e² =

где n – число параметров модели.

Отношение s_3e²/ s_1e² сопоставляется с граничными значениями двухстороннего критерия Фишера F_* и F^* с заданным уровнем доверительной вероятности р_* и числом степеней свободы n₁=T–(n+1) и n₂=T–T₂–(n+1). Если оказывается, что выполняется соотношение

F_* £s_3e²/s_1e² £ F^*, (2.49)

то гипотеза о постоянстве дисперсии на интервале (1,Т) принимается. В противном случае – эта гипотеза отвергается.

Напомним, что F_* =1/F^*(n₂, n₁).

2. Тестирование автокорреляционной зависимости ошибки.

Проверка выполнимости условия (2.22), свидетельствующего об отсутствии автокорреляционных взаимосвязей в ряду “истинной” ошибки модели e_t, на практике осуществляется путем тестирования ряда значений фактической ошибки e_t.

Обычно у случайного процесса (если отсутствуют сезонные эффекты) наиболее существенны взаимосвязи между соседними значениями. Это выражается в том, что абсолютное значение его первого коэффициента автокорреляции превосходит аналогичные значения его коэффициентов автокорреляции более высоких порядков. Вследствие этого проверка выполнимости условия (2.22) часто рассматривается как проверка гипотезы о значимости именно первого коэффициента автокорреляции фактической ошибки.

На практике проверку значимости выборочного коэффициента автокорреляции ошибки r₁можно провести двумя способами. Во-первых, можно пренебречь погрешностями, обусловленными отличием закона распределения выборочного коэффициента автокорреляции от нормального, тем более, что при r₁®0 они не столь значительны. Тогда процедура проверки значимости этого коэффициента сводится к сопоставлению расчетного значения его критерия Стьюдента

с его табличным значением t_* (р_*, Т–2), взятым при заданном уровне доверительной вероятности р_* и известном числе степеней свободы Т–2. В выражении (2.54) характеризует среднеквадратическую ошибку выборочного коэффициента корреляции, величину которой приблизительно можно определить на основании следующего выражения:

Если окажется, что t_r £t_*, то первый коэффициент автокорреляции временного ряда фактической ошибки e_t можно принять равным нулю, и в этом случае ее автокорреляционные взаимосвязи можно считать статистически несущественными.

Второй способ оценки значимости коэффициента r₁ с точки зрения математической статистики является более строгим. При его проведении вместо выборочной оценки коэффициента автокорреляции r₁ используется его преобразование

Фишер показал, что величина z₁ распределена приблизительно по нормальному закону с нулевым средним практически при любых значениях r₁<1 даже при не слишком большой выборке. Вследствие этого расчетное значение критерия Стьюдента, используемое при проверке гипотезы о независимости рядов е_t и е_t+1, может быть определено по формуле – среднеквадратическая ошибка переменной z₁. В практических расчетах ее можно заменить оценкой, полученной из выражения (2.55).