Тема 5. лаговые (распределенные во времени) эконометрические модели

В экономике редко встречаются случаи, когда эндогенные и экзогенные переменные включаются в модель в один и тот же момент времени. Это объясняется прежде всего тем, что решения, которые должны принять экономисты, требуют определенного срока, необходимого для их воплощения в жизнь. Разновидность эконометрической модели,
в которой только экзогенные переменные входят с учетом запаздывания во времени, носят названия лаговых. Если таковыми являются эндогенная и случайная переменные модели, то зависимости именуют авторегрессией и скользящим средним, изучению которых посвящена тема 6.

Рассмотрим частные случаи лаговых моделей, к которым относятся лишь модели множественной линейной регрессии с запаздывающей во времени экзогенной переменной

(5.1)

Для физической реализуемости динамической модели (5.1) требуется выполнение условия сходимости следующего ряда:

и, следовательно, .

На практике применяется модель с конечным числом запаздываний, являющаяся частным случаем (5.1):

, , (5.2)

а также распространена нормированная модель

, если , (5.3)

где , , .

Модель (5.3) позволяет интерпретировать веса как вероятности распределения значений широко известных законов дискретных случайных величин.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных случаев структуры запаздывающих весов:

1) Геометрическая лаговая структура (модель Койка (Koyck L.)

Пусть все параметры убывают с ростом по геометрической прогрессии со знаменателем :

, .

Тогда модель (5.1) примет упрощенный вид

.

Легко заметить, что разность позволит значительно упростить модель (5.1):

Окончательно имеем:

. (5.4)

Если нормализовать модель Койка, то:

,

окончательно нормализованный вид модели (5.4)

. (5.4')

В моделях (5.4) и (5.4') необходимо оценить лишь три неизвестных параметра ( и ) вместо бесконечного их числа в модели (5.1). Однако за это упрощение приходиться платить появлением автокорреляции случайной переменной . В присутствии лаговой переменной применяют специальные тесты проверки на автокорреляцию:

а) Тест h-Дарбина:

Решающая статистика этого теста:

,

где – статистика Дарбина-Вотсона;

– дисперсия оценки , коэффициента при переменной модели (5.4), (5.4').

Критерий проверки нулевой гипотезы: , где

, (5.4")

имеет вид:

если , где – квантиль нормального распределения порядка , то нулевую гипотезу следует отбросить.

Описанный тест имеет два существенных недостатка:

1. Решающая функция не определена, если величина ;

2. Тест не применим, если искомая модель содержит более одной лаговой зависимой переменной, или когда автокорреляция не соответствует авторегрессионной зависимости первого порядка (5.4").

б) Множественный критерий Лагранжа:

Шаг 1. Находят остатки (отклонения) оцененной модели

.

Шаг 2. Вводят вспомогательную модель:

,

которую оценивают по МНК, вычисляя .

Шаг 3. Критерием проверки нулевой гипотезы:

является решающее правило:

если , то отбрасывают нулевую гипотезу.

где – квантиль распределения -квадрат с одной степенью свободы порядка .

Если в модели более одной лаговой переменной, то на шаге 2 формируют расширенную модель

,

для которой условие отклонения гипотезы :

.

2) Полиноминальная лаговая структура (модель Алмона (Almon S.)

Рассматривая коэффициенты как полиномы невысокой степени от , получим:

, , (5.5)

где – некоторые неизвестные параметры. Тогда, подставляя вместо их правые части из (5.5) в модель (5.2), будем иметь:

Окончательно вводя переобозначение, получим:

, (5.6)

где только неизвестных параметров вместо параметров модели (5.2).

Приведем примеры использования лаговых моделей в экономике.

Пример 5.1. Модель частичной (неполной) корректировки. Пусть каждому периоду времени производственного процесса соответствует некоторый желаемый объем основных фондов (капитала) . Очевидно, что в реальном производстве величина будет отличаться от фактического объема накопленного капитала , то есть , и необходимо принять решение об увеличении основных фондов, т.е. привлечь определенный объем инвестиций. Однако на приобретение инвестиций затрачивается определенное время и за единичный период производственного цикла может быть устранена только часть недостающей величины .

Поскольку фактический объем капитала к концу периода времени включает его стартовый запас и чистый прирост за все производственные циклы, то величина будет зависеть от желаемого объема капитала во все производственные циклы функционирования предприятия. Формализуем изложенное выше:

Пусть реальный объем инвестиций составляет лишь часть желаемого объема, тогда модель имеет вид:

, .

Тогда модель фактического капитала:

(5.7)

Если , то реальный и желаемый объемы капитала совпадут уже
к концу периода и будет иметь место «мгновенное» устранение расхождения .

В производственной практике на желаемые запасы направляют часть получаемого дохода (прибыль) . После подстановки в модель (5.7)

(5.8)

получим модель, которую называют моделью «подтягивающихся» инвестиций, представляющую собой нормированную модель Койка.

Пример 5.2. (Модель адаптивных ожиданий)

Если в предыдущем примере корректируется эндогенная переменная, то в данном случае корректируется экзогенная переменная:

, (5.9)

Модель эндогенной переменной формируется в виде:

. (5.10)

Если выразить через из соотношения (5.9), введя оператор запаздывания , т.е.:

и подставить в модель (5.10), получим

или

. (5.11)

Модель (5.11) совпадает с моделью Койка.

Наиболее известными частными случаями модели адаптивных ожиданий являются:

а) модель гиперинфляции Кагана (Cagan P.):

,

где , здесь – индекс цен;

– номинальный индекс спроса на денежные остатки;

– ожидаемый темп инфляции.

б) модель перманентного дохода (в теории потребления М.Фридмана (Friedman M.)):

где – фактические объемы потребления и дохода;

– перманентные составляющие;

– временные (случайные) составляющие.

Причем , из-за ненаблюдаемости предполагается, что , .

Следовательно , что является разновидностью модели Койка.

Задача 5.1. Менеджер ищет пути увеличения спроса на продукцию своей фирмы. Он решил воспользоваться следующей эконометрической моделью для оценки производственных мощностей:

где – объем накопленных основных фондов к концу периода ;

– желаемый (плановый) объем капитала;

– реальный объем продажи продукции фирмы;

– желаемый объем продажи продукции фирмы;

– численность нанимаемой рабочей силы.

1. По заданным значениям необходимо преобразовать исходную модель для оценки неизвестных параметров: .

2. Запишите модель зависимости переменой от лаговых переменных .

3. Можно ли оценить параметры и , располагая МНК-оценками модели, построенной Вами, при ответе на предыдущий вопрос.

Задача 5.2. Пусть построена модель потребления основного капитала, минимизирующего функционал издержек:

,

где – критерий качества, определяющий квадрат издержек по приобретению инвестиций;

– фактический объем основного капитала;

– желаемый объем основного капитала.

1. Докажите, что оптимальный объем капитала , минимизирующий квадрат издержек по приобретению инвестиций, удовлетворяет соотношению:

(5.12)

и укажите соотношение между параметрами и , обеспечивающее условие (5.12).

Задача 5.3. Рассчитайте и запишите в явном виде влияние лага
в переменной на для следующих моделей Койка с распределенными лагами

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 5.4. Рассмотрим следующую модель оценивания спроса на реальные денежные запасы:

(5.13)

, ; ,

где – денежные запасы к концу периода ;

– процентная ставка в году ;

– реальный ВНП в году .

а) какая экономическая взаимосвязь между переменными и вытекает из уравнения (5.13)?

б) проведите проверку автокорреляции модели на уровне значимости .

в) предположим, имеется информация, что стандартная ошибка коэффициента при равна 0,30. Как изменится Ваш вывод о наличии автокорреляции?

Задача 5.5. Рассмотрим следующую модель определения зарплаты

,

где – зарплата в году ;

– уровень цен в году ;

– уровень безработицы в году .

а) проверьте знаки и значимость коэффициентов с доверительной вероятностью .

б) обсудите теоретическую обоснованность присутствия в модели.

в) если устранить из модели, значимо ли изменится функциональная форма зависимости? Почему?

Задача 5.6. Постройте производную модель и составляющую систему вспомогательных уравнений для полиноминальной структуры распределенных лагов Алмона на основе следующих характеристик:

1. Полином второй степени с максимальной длиной лага, равной 3;

2. Полином третьей степени с длиной лага, равной 4;

3. Полином третьей степени с длиной лага, равной 5.

Задача 5.7. В следующих двух экономических процессах выберите длину лага и степень полинома, необходимые для оценки ежеквартальной модели Алмона.

а) влияние числа разрешений на строительство новых домов на рост ВНП (разрешение на строительство нового дома должно быть получено до начала его сооружения). Пусть требуется время до двух кварталов, чтобы начать строительство дома, и от двух до четырех кварталов, чтобы завершить строительство дома.

б) влияние рекламы мороженого на продажу мороженого (в предположении, что потребители покупают мороженое в прямой пропорциональной зависимости от среднеквартальной температуры погоды
и что влияние рекламы сохраняется до 3 кварталов).

Задача 5.8. При изучении реализации продукции и планируемых инвестиций результаты деятельности фирмы на основе наблюдений за переменными были оценены в форме эконометрических моделей, используя МНК.

;

;

;

;

где – планируемые инвестиции, которые фирма желает осуществить в течение -ого года на основе деятельности в предыдущем -м году;

– фактические инвестиции, т.е. степень реализации плана инвестирования в течение -ого года;

– объем фактического основного капитала, располагаемого фирмой к концу -ого года.

1) Проинтерпретируйте эти модели и ответьте на вопрос: существенно ли влияние знания объема плановых инвестиций на фактические инвестиции?

2) Обсудите возможность использования этих моделей для оценки постоянного уровня инвестиций.

Задача 5.9. Постройте лаговую эконометрическую модель Койка при двух следующих условиях:

1) если параметры модели при экзогенной переменной с распределенной структурой лагов уменьшаются со скоростью геометрической прогрессии (знаменатель ), начиная с периода ;

2) если в модель включены две экзогенные переменные и
в следующих вариантах:

2.1) с одним распределенным по лаговым переменным параметром ;

2.2) с параметром для переменной , с параметром для переменной .

Задача 5.10. Составьте вспомогательную модель с полиноминальным распределением лагов в следующих заданных характеристиках:

а) полиномы второго порядка с максимальным лагом ( );

б) полиномы второго порядка с максимальным лагом ( );

в) полиномы третьего порядка с максимальным лагом ( ).

Задача 5.11. Основываясь на экономической теории двух следующих экономических взаимосвязей, выберите длину лага и порядок полинома, которые описывали бы ежеквартальную модель Алмона:

а) влияние на рост ВНП числа разрешений на строительство новых зданий. (Разрешение на постройку здания предшествует, очевидно, началу его возведения. Предполагается, что процесс получения разрешения может длиться от нуля до двух кварталов, а строительство здания – от двух до четырех кварталов).

б) влияние рекламы купальных костюмов на объем их продаж
в северных областях. (Предполагается, что потребители покупают купальные костюмы в прямо пропорциональной зависимости от средней температуры воздуха в текущем квартале и что реклама остается в памяти потребителя в течение пяти кварталов).

Задача 5.12. Пусть менеджеру необходимо оценить влияние рекламных расходов на валовой доход, полученный сетью торговых точек производственной фирмы. Принимается решение построения лаговой модели, но необходимо произвести исследование, какой тип моделей данного класса будет наиболее соответствовать следующим статистическим данным?

Таблица полученных значений переменных модели

	-	-	-

а) сравните адекватности следующих предлагаемых моделей:

1) ;

2) (модель Койка).

б) проверьте наличие автокорреляции в модели Койка, применяя: -критерий Дарбина, множественный критерий Лагранжа.

Задача 5.13. Исследуется модель зависимости темпа роста урожайности зерновых культур сельскохозяйственного предприятия от ежемесячного количества выпадения осадков; по собранным данным получена следующая модель:

,

где – темп роста урожайности в месяц с номером ;

– количество осадков в месяц ;

– случайная переменная, распределенная по нормальному за-кону.

1. Обсудите ожидаемые знаки у коэффициентов модели;

2. Какая Ваша рекомендация по выбору структуры распределения лагов?

ТЕМА 6. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
С ФИКТИВНЫМИ (ДИХОТОМИЧЕСКИМИ)
ПЕРЕМЕННЫМИ. ЛОГИТ И ПРОБИТ МОДЕЛИ