Виды средних величин и методы их расчета

Большое распространение в бизнес-статистике имеют средние величины. Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Выбор инвестиционной стратегии должен начинаться с анализа среднегодовой доходности фондов за пять последних лет. Целесообразно сравнивать доходность фондов, имеющих разную степень риска. В большинстве случаев данные концентрируются вокруг некоей центральной точки. Таким образом, для описания любого набора данных, достаточно указать некое типичное значение. Эту величину называют средним значением.

Введем следующие понятия и обозначения:

- Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком -

- Величина осредняемого признака у каждой единица совокупности, называется индивидуальным его значение (или вариантами) – Х1, Х2 , …, Хn.

- Частота – это повторяемость индивидуальных значений признака – f

Для решения различных задач требуются различные виды средних.

Средняя арифметическая исчисляется, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений из отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Средняя арифметическая невзвешенная получается делением количества сводного признака на число показаний:

Если значение признака встречается несколько раз используют среднюю арифметическую взвешенную:

где xi - значения признака; fi - их частота.

Взвешенная средняя учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Для интервальных рядов распределения (варианты признака представлены в виде интервалов) в каждом интервале определяется серединное значение, после чего взвешивание производится обычным порядком.

Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя геометрическая применяется если при замене индивидуальных величин признака на среднюю надо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин. Этот вид средней позволяет оценить степень изменения переменной с течением времени.

Этой средней удобно пользоваться, если уделяется внимание отношениям двух чисел. Например, при расчётах среднегодовых темпов роста.

Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической. Она используется если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при определении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

Средняя квадратическая применяется, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину надо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин. Основное применение при измерении вариации признака в совокупности.

Структурные средние величины.

Для характеристики структуры совокупности применяют структурные средние. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, или в совокупности, чаще всего. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.д. В дискретном ряду мода - это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту:

где x_нmo - нижняя граница модального интервала;

i_mo - величина модального интервала;

f_mo - частота, соответствующая модальному интервалу;

f_mo-1, f_mo+1 - частоты интервалов, предшествующих и следующих за модальным интервалом.

Медиана - это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части. Для упорядоченного дискретного ряда с нечетным числом значений – медиана – это серединный элемент ряда. Для упорядоченного дискретного ряда с четным числом значений – медиана – это среднее арифметическое двух серединных элементов ряда.

Для интервального ряда медианный - это интервал, для которого накопленная частота больше или равна полусуммы частот ряда. Для интервального ряда медиана находится по формуле:

где x_нme - нижняя граница медианного интервала;

i_me - величина медианного интервала;

S f/2 - полусумма частот ряда;

S_me-1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_me - частота медианного интервала.

Сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая:

Это особое свойство медианы находит широкое применение в маркетинговой деятельности.

Если среднее арифметическое значение, мода и медиана совпадают, то такая группа данных симметрична.

Величины, находящиеся на одной, двух и трёх четвертях расстояния от начала ряда называются квартилями, на одной десятой - децилями, на одной сотой - процентилями. Децилем называется структурная величина, которая делит распределение на 10 равных частей по 10% единиц или объемов в каждой части. Децилей девять, децильных групп – десять.