Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции

Основная причина автокорреляции ошибок - наличие скрытых регрессоров. Их влияние и проявляется через случайную составляющую. Это говорит о низком качестве отбора значимых факторов на начальном этапе построения регрессионной модели и выборе самой модели. Все это называется идентификацией модели или временного ряда.

Очень часто скрытыми факторами являются лаговые объясняемые переменные y_t-1, y_t-2и т.д. Действительно, если мы строим прогнозное уравнение регрессии курса валют, то именно эти лаговые переменные включим в уравнение в качестве объясняющих переменных в первую очередь. Другой класс объясняющих переменных - макропоказатели экономики: цена на нефть на мировом рынке, индексы активности экономики России и других стран, уровень политической (военной) напряженности в наиболее горячей точке планеты и т.п.

Таким образом, автокорреляция устраняется, если мы качественно выполним идентификацию временного ряда, т.е. построим модель такую, в которой остатки представляют собой "белый шум", а все регрессоры значимы.

Такая модель не единственна, поэтому выбирают самую простую из трех типов: авторегрессионную модель р-го порядка АR(p), модель скользящей средней q-го порядка MA(q) и авторегрессионную модель скользящей средней ARMA(p, q).

Авторегрессионная AR(p) модель (см. уравнение (5.8)) имеет вид:

y_t=b_о+ b₁ y_t-1+ b₂ y_t-2 +...+ b_р y_t-р + e_t; t=1, 2, ... , n.

(6.22)

Модель скользящей средней MA(q):

y_t=e_t+ g₁e_t-1+ g₂ e_t-2 +...+ g_qe_t-q ; t=1, 2, ... , n.

(6.23)

Авторегрессионная модель скользящей средней ARMA(p,q):

y_t=b_о+ b₁ y_t-1+ b₂ y_t-2 +...+ b_р y_t-р +e_t+ g₁e_t-1+...+ g_qe_t-qt=1, 2, ... , n

(6.24)

Чаще всего на практике используется метод проб и ошибок: проверяются на пригодность различные модели, начиная с самых простых.

В качестве ориентира для идентификации можно использовать автокорреляционую и частную автокорреляционую функции. Если все значения r(t) порядка выше q близки к нулю, то применяется модель МА с порядком не выше q. Например, из рис. 5.1 видно, что можно принять q»2.

Если все значения частной автокорреляционной функции порядка выше р близки к нулю, то применяется модель AR с порядком авторегрессии не выше р. В конечном счете мы и получим модель без авторегрессии.

В качестве примера рассмотрим авторегресионную модель 1-го порядка. Пусть мы имеем регрессионную модель

Y=Xb+e или y_t=b₀ + åb_ix_t_j +e_t t=1, ... , n

(6.25)

и пусть возмущения связаны наиболее просто – авторегрессионным процессом 1-го порядка:

e_t = re_t-1+n_t,

(6.26)

где n_t - "белый шум" (М(n_t)=0 и D(n_t)=s₀²) и r - коэффициент авторегрессии.

Отсюда из выражения (6.26) нетрудно получить формулу:

s² =

Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции - student2.ru

/(1-r²)

(6.27)

и далее для коэффициентов автокорреляции 1-го и m-го порядков:

r(e_t, e_t-1) = r и r(e_t, e_t-m) = r^m.

(6.28)

На основе формул (6.27) и (6.28) можно записать ковариационную матрицу вектора возмущений e:

(6.29)

Для получения наиболее эффективных значений параметра b применяется обобщенный МНК. Неизвестное значение r оценивается применением к регрессии (6.26) обычного МНК.

Можно пойти другим путем. Исключая e_t из уравнений (6.25) и (6.26), получим классическую ЛММР: возмущения n_t независимы и имеют постоянную дисперсию Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции - student2.ru :