Компоненты временного ряда

В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней ( Компоненты временного ряда - student2.ru ) временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд ( Компоненты временного ряда - student2.ru ), сезонную компоненту ( Компоненты временного ряда - student2.ru ), циклическую компоненту ( Компоненты временного ряда - student2.ru ) и случайную составляющую ( Компоненты временного ряда - student2.ru ).

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента ( Компоненты временного ряда - student2.ru ). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие).

В этом случае уровни ряда Компоненты временного ряда - student2.ru . Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.

Компоненты временного ряда - student2.ru

Рис. 10.1

Модель уровня такого ряда имеет вид: Компоненты временного ряда - student2.ru ,

Где Компоненты временного ряда - student2.ru – уровни динамического ряда, Компоненты временного ряда - student2.ru – средний за период уровень ряда, Компоненты временного ряда - student2.ru – случайная составляющая, определяемая как Компоненты временного ряда - student2.ru .

Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.

Компоненты временного ряда - student2.ru

Рис. 10.2

Модель уровня такого ряда имеет вид: Компоненты временного ряда - student2.ru ,

Где Компоненты временного ряда - student2.ru – тренд, Компоненты временного ряда - student2.ru – случайные колебания (рис. 10.2).

Представление временного ряда может быть следующих видов:

Компоненты временного ряда - student2.ru (аддитивная модель);

Компоненты временного ряда - student2.ru (мультипликативная модель);

Компоненты временного ряда - student2.ru (смешанного типа).

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд.

Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений: Компоненты временного ряда - student2.ru такое же, как и для Компоненты временного ряда - student2.ru при любых m, Компоненты временного ряда - student2.ru . В этом случае имеем:

Компоненты временного ряда - student2.ru ,

Компоненты временного ряда - student2.ru ,

Компоненты временного ряда - student2.ru .

При анализе изменения величины Компоненты временного ряда - student2.ru в зависимости от значения временного сдвига Компоненты временного ряда - student2.ru принято говорить об автоковариационной функции (АКФ).

Компоненты временного ряда - student2.ru .

На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции Компоненты временного ряда - student2.ru определяется формулой:

Компоненты временного ряда - student2.ru, (10.1)

где Компоненты временного ряда - student2.ru Компоненты временного ряда - student2.ru , Компоненты временного ряда - student2.ru.

Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение Компоненты временного ряда - student2.ru , в зависимости от значений сдвига Компоненты временного ряда - student2.ru , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов.

Проверка гипотезы существования тенденции.

Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с по­строения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необхо­димо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.

Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму:

1. Для исследуемого временного ряда определяется последователь­ность знаков, исходя из условий

Компоненты временного ряда - student2.ru (10.2)

При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учи­тывается только одно наблюдение.

Подсчитывается число серий u (n). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.

Определяется протяженность самой длинной серии lmax (n).

4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n).

Таблица 10.5

Длина ряда n n £ 26 26 < n <153 153 < n < 170
Значение l (n)

5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:

Компоненты временного ряда - student2.ru (10.3)

Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа.

Пример 10.1. Дана динамика ежеквартального поступления платежей, администрируемых таможенными органами в ден. ед. (см. таблицу 10.6). С помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий сделать вывод о присутствии или отсутствии тренда. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Таблица 10.6

t
yt

Решение.

Определим последовательность знаков (таблица 10.7).

Таблица 10.7

t
yt
di   + + + + + + + + +

Число серий u (n) = 11, протяженность самой длинной серии lmax (n) = 3, по таблице l (n) = 5. Запишем систему неравенств:

Компоненты временного ряда - student2.ru

Компоненты временного ряда - student2.ru

Оба неравенства выполняются, поэтому тренд в динамике поступления платежей отсутствует с доверительной вероятностью 0,95.

Наши рекомендации