Контрольное задание №2

Волны

Уравнение волны

¶²u/¶t² – v²¶²u/¶x² =0 – дифференциальное волновое уравнение

упругих волн,

u = u_ocos(wt – kx) – уравнение плоской волны,

u = (A/r^1/2 )cos(wt – kr) – уравнение цилиндрической волны,

u = (A/r)cos(wt – kr) – уравнение сферической волны,

v² = E/r - выражение для скорости упругих волн для тел стержнеобразной формы, Е – модуль Юнга, r - плотность среды или тела.

v² = gRT¤m_o – выражение для скорости упругих волн в воздухе, g = 1,4 – адиабатическая постоянная идеального газа, R = 8,31Дж/(К моль), Т – абсолютная температура газа, m_o – 0,029 кг/моль – молярная масса газа.

w=2pn, n= 1/Т - частота упругих волн, к = v/w - волновое число,

Т – период волнового движения, wt – kx = j - фаза волны.

Эффект Доплера

n=n_о(v + u_пр)/(v – u_ист) – формула для эффекта Доплера для звуковых волн,n - частота принимаемого сигнала, n_о – испускаемого сигнала, u_пр- скорость движения приемника, u_ист – скорость движения источника.

n=n_о(v + u)/(v – u) – формула для эффекта Доплера в гидроакустике, v – скорость звука в воде, u скорость движения объекта.

n=n_о(с + v)^1/2/(с - v)^1/2 - формула для эффекта Доплера для электромагнитных волн, с – скорость света, v – скорость движения объекта.

Интенсивность и громкость звука

J = Р²/2rv – интенсивность звука, Р – амплитуда звукового давления,v – скорость звука в среде, r - плотность среды.

L = 20 lg P/P_о = 10lgJ/J_о – уровень громкости звука в децибелах (дБ).

Р_о =2^.10^-5 Па – порог слышимости человеческого уха, J_o = 10^-12 Вт/м – порог слышимости человеческого уха по интенсивности.

Стоячие волны

u_S = 2u_ocos(kx + j/2)coswt – уравнение стоячей волны для волны смещения частиц среды, Р_S = 2Р_ocos(kx + j/2)coswt – уравнение стоячей волны для волны избыточного давления, j - неизвестная фаза отраженной волны, которая находится из граничных условий при х = 0.

Интерференция волн

d = l/2n – толщина просветляющего слоя объектива фотоаппарата, толщина обмазки для получения условий, когда отсутствует отраженная электромагнитная волна от поверхности объекта, n – показатель преломления материала слоя или обмазки.

a =lL/b – ширина интерференционной полосы в опыте Юнга, с зеркалами и линзой Френеля, L – расстояние от отверстий до экрана, в – расстояние между отверстиями.

v=c/n – скорость света в среде с показателем преломления n,

L = nL_* - оптическая длина пути световой волны, L_* - геометрическая длина пути световой волны в среде,

D= 2dncosg + l/2 – оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей очень тонкого клина, показатель преломления материала которого равен n, d – толщина клина в точке падения лучей, g- угол преломления. Так как g=0 для тонкого клина, то D= 2dn + l/2 .

D =±кl, где к = 0,1,2,3….. – условие максимумов интенсивности света при интерференции,

D=±(2к+1)l/2 – условие минимумов интенсивности света при интерференции.

Дифракция волн

вsinj_min = ±kl - условие минимума дифракции в дальней зоне, в – ширина (диаметр) отверстия, к – порядок дифракции,

вsinj_max = ±(2k+1)l/2 – условие максимума дифракции,

I = N² I_o – связь интенсивности излучения дифракционной (антенной) решетки с интенсивностью излучения от одного отверстия (излучателя)I_{o ,}N – число штрихов (излучателей) на единицу длины.

R = Nm – разрешающая сила дифракционной (антенной) решетки, m – порядок дифракции.

dsinj_max = ±ml - условие для определения положения главных максимумов дифракции на дифракционной решетке,

dsinj_min = ±(m + k/N)l - условие для определения положения дополнительных минимумов дифракции на дифракционной решетке,

Угловая ширина диаграммы направленности равна 2j_min . Угловая ширина диаграммы направленности антенной решетки, состоящей из N излучателей или приемников на единицу длины примерно равна 2j_min = 2l/dN= 2l/L, где L – общая длина антенной решетки. Здесь мы положили m=0 и к=1, то есть взяли первый дополнительный минимум к основному максимуму.

Уравнение волны

Задача

Определите частоту волны, распространяющейся в упругой среде, если разность фаз двух точек, расположенных на расстоянии 12 см друг от друга равна p/4. Скорость распространения волны равна

1500 м/с.

Пример решения

j₂ - j₁ = p/4 n = w¤2p = v/l

х₂ – х₁ = 12 см = 0,12 м j₂ - j₁ = wt – kx₂ - wt – kx₁ = k(х₂ – х₁)= p/4

v = 1500 м/c Перепишем это равенство таким образом

(2p¤l)(х₂ – х₁)=(2pv¤n) (х₂ – х₁)=p/4

n = ? n = 8v(х₂ – х₁) = 1500^.0,12 = 180 Гц.

Ответ в герцах, так как все данные подставляли в системе СИ.

Варианты

1.1. Определите частоту волны, распространяющейся в упругой среде, если разность фаз двух точек, расположенных на расстоянии 15 см друг от друга равна p/2. Скорость распространения волны равна 1500 м/с.

2.1. Определите частоту волны, распространяющейся в упругой среде,

если разность фаз двух точек, расположенных на расстоянии

8 см друг от друга равна p/3. Скорость распространения волны

равна 1500 м/с.

3.1. Какова длина звуковой волны и частота колебаний, если разность

фаз колебаний точек, находящихся на расстоянии 10 см

составляет p/3.

4.1. Напишите уравнение цилиндрической волны смещения частиц

среды в воздухе, если скорость распространения волны равна

340 м/с, ее амплитуда А = 5 мм^3/2 , а частота 1000 Гц .

5.1. Напишите уравнение сферической волны смещения частиц среды

в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с,

ее амплитуда А = 8 мм² , а частота 2000 Гц .

6.1. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды в

воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, ее

амплитуду А = 15 мм^1/2 , а частота 3000 Гц .

7.1. Найти разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на

расстоянии соответственно 10 и 16 м от источника звуковых

колебаний. Период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их

распространения 340 м/с.

8.1. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на

расстоянии L = l/12, для момента времени t = T/6. Амплитуда

колебаний в плоской волне равна 0,05 м.

9.1. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на

расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени t = T/6

равно половине амплитуды. Найти длину бегущей плоской волны.

10.1. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 1500 м/с.

Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние

между точками среды, фазы колебаний которых противоположны,

равно 0,75 м.

Эффект Доплера

Задача

На шоссе две машины следуют одна за другой. Скорость первой машины 20 м/с, а скорость второй 35 м/с. Вторая машина подает сигнал на частоте 600 Гц. Какую частоту воспринимает водитель первой машины, если скорость звука в воздухе 340 м/с?

Пример решения

u_пр = 20 м/c Формулы для эффекта Доплера приведены для

u_ист = 35 м/c случая, когда объект приближается к источнику или

n_o = 600 Гц локатору. Поэтому скорость движения приемника

v = 340 м/c следует взять с обратным знаком.

n = ? n=n_о(v - u_пр)/(v – u_ист)= 600^.320/305 = 630 Гц.

У задачи может быть и второй вариант решения.

Перейдем в систему отсчета, связанную с одним из движущихся объектов. Тогда

u_пр = 0

u_ист = 15 м/с

n=n_о(v - u_пр)/(v – u_ист)= 600^.340/325= 628 Гц, то есть получаем примерно тот же ответ.

Варианты

1.2. Два космических корабля движутся вдоль одной прямой. Скорость

одного из них 12 м/с, а другого 8 м/с. Определите частоту

сигнала электромагнитных волн, воспринимаемых вторым

кораблем, если антенна первого корабля излучает сигнал

частотой 1 МГц. Корабли удаляются друг от друга.

2.2. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между частотой сигнала, посылаемого передатчиком и частотой сигнала, отраженной от движущегося объекта. Определить скорость ракеты, приближающейся к локатору, если тот работает на частоте 800 МГц, а частота биений равна 4 кГц.

3.2. Поезд движется со скоростью 108 км/час. Навстречу ему движется

электричка со скоростью 36 км/час, частота сигнала сирены

которой равна 2000 Гц. Какова частота сигнала, который

услышит машинист поезда? Скорость распространения звука в

воздухе 340 м/с.

4.2. Сигнал неподвижного ультразвукового локатора на частоте 50 кГц

направлен к приближающейся подводной лодке. Определить ее

скорость, если частота биений 250 Гц. Скорость

распространения звука в воде 1500 м/с.

5.2. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью 10 км/с. Частота электромагнитных волн, излучаемых антенной корабля

40 МГц. Определить доплеровское смещение частоты,

воспринимаемой приемником на Земле.

6.2. Наблюдатель на берегу моря слышит звук пароходного гудка.

Когда наблюдатель и пароход не движутся, воспринимаемый

наблюдателем звук имеет частоту 420 Гц. Когда пароход

движется по направлению к наблюдателю, частота

воспринимаемого звука равна 430 Гц. Определить скорость

движения парохода в первом и втором случаях, если скорость

звука 334 м/c.

7.2. Ружейная пуля летит со скоростью 200 м/с. Найти, во сколько раз

изменится высота тона свиста пули для неподвижного

наблюдателя, мимо которого пролетает пуля. Скорость звука в

воздухе 334 м/с.

8.2. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой 400 Гц.

Стоящий на берегу наблюдатель воспринимает звук свистка

частотой 395 Гц. Считайте скорость звука в воздухе 334 м/с и

определите скорость движения теплохода. Определите также

удаляется он или приближается к наблюдателю.

9.2. Известный физик Роберт Вуд однажды проехал на красный свет

светофора на автомобиле и был остановлен инспектором.

Роберт Вуд сослался на эффект Доплера и ответил, что красный

свет показался ему зеленым. Оценить скорость, с которой должен

был бы двигаться автомобиль, чтобы красный свет (l = 0,65 мкм)

показался бы водителю зеленым (l = 0,55 мкм).

10.2. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между частотой сигнала, посылаемого передатчиком, и частотой сигнала, отраженного от движущегося объекта. Определить скорость приближающейся к радиолокатору ракеты, если он работает на частоте 3 ГГц, а частота биений равна 4 кГц.