Качество оценок МНК линейной множественной регрессии. Теорема Гаусса-Маркова

В классическом множественном регрессионном анализе обычно делаются следующие предпосылки:

1. Математическое ожидание случайного членаε_iравно нулю в любом на-блюдении

М(εi) = 0.	(3.19)
2. Дисперсия случайного членаεiпостоянна для всех наблюдений
D(i)2 .	(3.20)
3. Значения случайного члена в любых наблюденияхεiиεj	не коррелиру-
ют между собой
Cov(εi, εj) = 0 (i≠j).	(3.21)
Это условие с учетом того, что М(εi) =М(εj) = 0 принимает вид
M(εi,εj) = 0 (i ≠ j).	(3.22)

4. Случайный член должен быть распределен независимо от объясняющихпеременных x_i в одних и тех же наблюдениях

Cov(xit, εi) = M (xi, εi) = 0,

(3.23)

где было учтено, что М(ε_i) = 0.

Следует сказать, что последнее условие заведомо выполняется, если объясняющие переменные xit считаются детерминированными величинами.

5. Матрица X X является неособенной, т. е. столбцы матрицы X линейно независимы.

6. Значения случайного члена ε_i распределены по нормальному закону.

Модель (3.6), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1 6, называ-ется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии.

Модель (3.6), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1 5, называ-ется классической линейной моделью множественной регрессии.

Согласно теореме Гаусса-Маркова, при выполнении указанных предпосы-лок оценки параметров линейной множественной регрессии (3.13), полученные методом наименьших квадратов, будут несмещенными и эффективными (т. е. будут иметь наименьшую дисперсию) в классе линейных несмещенных оценок.

Нарушение одного из условий Гаусса-Маркова приводит к нарушению эффективности оценок, т. е. в классе несмещенных оценок можно найти такие, которые имеют меньшую дисперсию.

После построения модели необходимо вычислить значения остатков е_i и проверить выполнение предпосылок 1 6, так как их нарушение снижает каче-ство модели. Если условия нарушаются, то следует модернизировать модель соответствующим образом. Эти вопросы будут рассмотрены далее.

3.6. Проверка качества уравнения регрессии. F-критерий Фишера

Как и в случае парной регрессии для оценки качества полученного множе-ственной уравнения регрессии (3.6) можно использовать коэффициент детер-минации, представляющий собой отношение объясненной части D(ŷ) диспер-сии переменной у ко всей дисперсии D(y)

_R2 D( yˆ)_или

D( y)

где

D( y)	1	yiy2	, D( yˆ)	1	yˆi
	n			n

R²

y²,

n
( yˆiy)2
i 1				,				(3.24)
n
( yiy)2
i 1
D(e)		Dост		1	ˆ
			n	yi		yi.

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля до единицы 0 ≤ R² ≤ 1 и показывает, какая часть дисперсии результативного признака y объяснена уравнением регрессии. Чем выше значение R², тем лучше данная модель согласуется с данными наблюдений.

Оценка статистической значимости уравнения регрессии (а также коэффи-циента детерминации R²) осуществляется с помощью F-критерия Фишера

		n
		( yˆiy)2
		i 1				R2		n p 1
F		p					,	(3.25)
	n		1 R		p
	( yˆiyi )2

i 1

n p 1

где p число независимых переменных в уравнении регрессии (3.6).

Согласно F-критерию Фишера, выдвигаемая «нулевая» гипотеза H₀ о ста-тистической незначимости уравнения регрессии отвергается при выполнении условия F>F_крит, где F_крит определяется по таблицам F-критерия Фишера (П3,

П4) по двум степеням свободы k₁=p,k₂=n p1 и заданному уровню значи-мости α.

Для оценки тесноты связи факторов с исследуемым признаком, задаваемой построенным уравнением регрессии yˆf(x₁,x₂,...,x_p) , используется коэффи-

циент множественной корреляции R

RR 21	Dост
	D( y)

	n
	( yˆiyi )2	.	(3.26)
	i 1
n
	( yiy)2

i 1

Коэффициент множественной корреляции R принимает значения в диапазоне 0≤R≤1.

Чем ближе величина R к единице, тем теснее данная связь, тем лучше за-висимость yˆf(x₁,x₂,...,x_p) согласуется с данными наблюдений. При R= 1

(R² = 1) связь становится функциональной, т. е. соотношениеyˆ f (x₁ , x₂ ,..., x_p )

точно выполняется для всех наблюдений.

Коэффициент множественной корреляции может использоваться как ха-рактеристика качества построенного уравнения регрессии yˆf(x₁,x₂,...,x_p) ,

точности построенной модели.

Величина коэффициента множественной корреляции не может быть мень-ше максимального парного индекса корреляции Rmaxr_yxi, (i1, 2,...,p) .

В случае линейной зависимости (3.6) коэффициент корреляции R связан с парными коэффициентами корреляции r_yxi соотношением

Ri ryxi,	(3.27)
i

где _i– стандартизованные коэффициенты регрессии (3.16).

Использование коэффициента множественной детерминации R² для оцен-ки качества модели, обладает тем недостатком, что включение в модель нового фактора (даже несущественного) автоматически увеличивает величину R².

Поэтому при большом количестве факторов предпочтительнее использо-вать, так называемый, скорректированный, улучшенный (adjusted) коэффици-

ент множественной детерминации R², определяемый соотношением

			n
		2 1	( yˆiyi )2 : (n p 1)		n 1	(1 R2 ) ,
		i 1		(3.28)
R
	n
				n p 1
			( yiy)2 : (n 1)

i 1

где p– число факторов в уравнении регрессии,n– число наблюдений. Чем больше величина p, тем сильнее различия R² и R².

При использовании R² для оценки целесообразности включения фактора в

уравнение регрессии следует однако учитывать, что увеличение R² при вклю-чении нового фактора не обязательно свидетельствует о его значимости, так как

значение увеличивается R² всегда, когда t-статистика больше единицы (t>1). При заданном объеме наблюдений и при прочих равных условиях с увеличе-нием числа независимых переменных (параметров) скорректированный ко-эффициент множественной детерминации убывает. При небольшом числе наблю-дений скорректированная величина коэффициента множественной детерминации R²имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака,

связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель. Отметим, что низкое значение коэффициента множественной корреляции

и коэффициента множественной детерминации R² может быть обусловлено следующими причинами:

– в регрессионную модель не включены существенные факторы;

– неверно выбрана форма аналитической зависимости, не отражающая ре-альные соотношения между переменными, включенными в модель.