Мода и медиана, способы их вычисления и сфера применения
Мода и медиана относятся к структурным средним и применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения признака.
Мода (µ0) − это наиболее часто встречающаяся величина признака в вариационном ряду.
Например, стаж работы, лет, Х: 5, 2,10,15, 2, 5, 7, 8, 5. µ 0 = 5.
В дискретном ряду моду будет представлять то значение признака (та варианта), которое имеет наибольшую частоту.
Например, какое число детей в семье встречается наиболее часто:
| Число детей | х |  1 | |||||
| Число семей | f | fmax |
µ о = 1.
Для расчета моды в интервальном ряду вначале определяется модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. Затем рассчитывают моду по формуле
(5.16)
где 
− начальная граница модального интервала,
− ширина модального интервала,
− частота модального интервала,
− частота интервала, предшествующего модальному,
− частота интервала, следующего за модальным.
Например, определить, с какой численностью работающих чаще всего встречаются предприятия (организации) в данной отрасли.
Таблица 5.10 – Группировка предприятий по числу работающих
| Группы предприятий по числу работающих | Количество предприятий в группе | |
| x | f | |
| 500 −1000 1000 −1500 1500 − 2000 | -модальный интервал | |
| 2000 − 2500 2500 − 3000 | ||
| Всего |  |
Следовательно, мода в характеристике рядов распределения указывает то значение, которое встречается чаще других. Она может быть определена с помощью полигона: самая высокая точка полигона указывает на оси абсцисс (х) то значение, которое является модой.
При определении моды в интервальном ряду графическим способом на гистограмме внутри прямоугольника с наибольшей частотой проводят две линии:
1 − соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика.
2 − соединяет его левый верхний угол с левым верхним углом следующего.
Абсцисса их точки пересечения и есть мода.
 |
|
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Рисунок 5.1 – Определение моды в интервальном ряду графическим способом
Медиана (µе) – это величина варьирующего признака, которая находится в середине ранжированного ряда.
Например, стаж работы, лет (х): 5, 2, 10, 15, 2, 5, 7, 8, 5.
Вначале ранжируем ряд:
х: 2, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 15
µе = 5
Т.е. медиана делит ряд на 2 части, равные по численности. Половина значений меньше (либо равны) медианы, а вторая – больше (либо равны). Если ряд состоит из нечетного количества уровней (вариант), то порядковый номер медианы в ранжированном ряду:
В нашем примере 
Если же ряд состоит из четного количества уровней, то медиана определяется как средняя арифметическая из варианты под 
и варианты 
.
Например, х, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 10, 15, 18
, x 6 = 5; 
, x7 = 7.
Следовательно, в данном случае:
При определении медианы в дискретном ряду используют способ накопления частот. Частоты накапливают до тех пор, пока сумма накопленных частот (Sµe) не будет равна или больше половины суммы всех частот (Σf). Последняя накопленная частота и будет указывать то значение признака, которое является медианой.
Например, определить медиану заработной платы работников.
Таблица 5.11 – Определение медианы в дискретном ряду
| ЗП, тыс. руб. | Число работников, чел. | Sµе |
| х | f | |
 16 | ||
| Σf = 40 |
µe = 600 тыс.руб.
В случае, если сумма накопленных частот составила ровно половину всех частот, медиана определяется как средняя из данного уровня и следующего за ним.
Таблица 5.12 – Определение медианы в дискретном ряду
| ЗП, тыс. руб. | Число работников, чел. | Sµе |
| х | f | |
 12 | ||
| Σf = 40 |
Для определения медианы в интервальном ряду вначале с помощью суммы накопленных частот определяют медианный интервал, а затем рассчитывают медиану по формуле
(5.17)
где Хµе − начальная граница медианного интервала;
iµe − ширина медианного интервала;
fµe − частота медианного интервала;
Sµe-1 − сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.
Например, определить медиану численности работников предприятия (организации).
Таблица 5.13 – Исходные данные для расчета медианы численности работников
| Группы предприятий по числу работников | Количество предприятий | Sµе | |
| х | f | ||
| 500 − 1000 1000 − 1500 1500 − 2000 | медианный интервал | ||
| 2000 − 2500 2500 − 3000 | |||
| Σf = 50 |
Для графического определения медианы используют кумуляту: последнюю ординату кумуляты делят пополам и через полученную точку проводят прямую параллельную оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения этой прямой с кумулятой и есть медиана.
|
|
|
|
|
Рисунок 5.2 – Определение медианы графическим способом