Неопределенный интеграл. Понятие неопределенного интеграла

Понятие неопределенного интеграла. дифференцирование -это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x) = х¹⁰, то F' (х) = 10х⁹, dF (х) =10x⁹dx.

Интегрирование -это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находит­ся сама функция. Например, если F' (х) = 7х⁶, то F (х) == х⁷, так как (х⁷)'=7х⁶.

Дифференцируемая функция F(x), хЄ]a; b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]а; Ь[, если F' (х) = f (х) для каждого хЄ]a; b[.

Так, для функции f(x) = 1/cos³ х первообразной служит функция F(x)= tg x, поскольку (tg x)'= 1/cos² х.

Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале ]а; b[ на­зывают неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут f (x)dx = F(x) + С. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение;

f(х)—подынтегральная функция; х—переменная интегрирования: С - про­извольная постоянная.

Например, 5x⁴dx = х⁵ + С, так как (х³ + С)' = 5х⁴.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла. 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d f(x)dx=f(x)dx.

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функ­ции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

dF(x)=F(x)+C.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

аf(х)dx = a f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

(f₁(х) ±f₂(х))dx = f₁(х)dx ± f₂(х)dx.

Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элемен­тарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 1.Найти

Решение. Произведем подстановку 2 — Зх² = t тогда -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Далее, получаем

Пример 2.Найти

Решение. Сначала положим 2 + cos x = t; тогда -sin xdx= dt, откуда sin xdx = -dt. Далее, получаем

Пример 3. Найти

Решение. Положим 10х = t; тогда 10dx = dt, откуда dx=(1/10)dt.

Далее, получаем

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k = 0, n= 0 — постоянные):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Так, при нахождении sinl0xdx можно использовать формулу sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, где k=10.

Тогда sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7. Найдите интегралы: а) б) в)

г)

Ответы: 7.а) б) в)

г)

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона—Лейбница:

где а—нижний предел, Ь—верхний предел, F (x)—какая-нибудь первообразная функции f (х).

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграл 1) находят одну из первообразных F (x) данной функции; 2) находят значение F (x) при х = а и х = Ь; 3) вычисляют разность F (Ь) — F (а).

Пример 1.Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

Приведем основные свойства определенного интеграла.

1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

Пример 2.Вычислить интеграл

Решение. 1) Произведем подстановку х³+2=t; тогда

3х²dx=dt,

2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При х=1 получаем t_н=1³+2=3, при х=2 получаем t_в=2³+2=10.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. 1) положим cos х=t; тогда – sinxdx =dt и

sinxdx = -dt. 2) Определим пределы интегрирования для переменной t: t_н=cos0=1:t_в=cos (π/2)=0.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение

sin³x = sin² x • sin x = (1 — cos²x) sin x = sin x - cos² x sin x.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

cos x =t,

-sin xdx =dt,

sin xdx =-dt,

tн=cos0 =1

tв=cos(π/2) =0.

Тогда

Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 46), ограниченной гpaфикoм непрерывной функции y=f(x), где

хЄ[а, b], отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х =a и х = b, вычисляется по формуле

(1)

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² , прямыми х = - 1, х = 2 и осью абсцисс (рис.47).

Решение. Применяя формулу (1), получаем

т.е. S=3 кв. ед.

Площадь фигуры ABCD (рис. 48), ограниченной графиками непрерывных функций у =f₁(x) и у f₂= (x), где х Є[а, b], отрезками прямых х = а и х = Ь, вычисляется по формуле

(2)

		рис. 47

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией у = х² — 2х (рис. 49).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций y=х²—2х и у=0 (ось Ох). Для этого решим систему

Теперь найдем искомую площадь:

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у² =х (рис. 50).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций у = х² и у² =х. Для этого решим систему

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при f₁(x)=x²,

рис. 50

рис. 51

Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой у = f (x), где x Є [а, b], отрезком [а, Ь] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b (рис. 51), вычисляется по формуле

(3)

Пример 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Ох фигуры, ограниченной параболой у²=2х, прямой х = 3 и осью Ох (рис. 52).

Решение. Применяя формулу (3), находим искомый объем:

(куб. ед.)

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой x=f(y), где у Є [а, b], отрезком [а, b] оси Оу, отрезками прямых у = а и у = Ь (рис. 53), вычисляется по формуле

(4)

Пример 9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Оу фигуры, ограниченной параболой у=х² и прямой у = 4 (рис. 54).

Решение. Применяя формулу (4), находим искомый объем:

(куб. ед.)

Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь пройден­ный точкой за промежуток времени [t₁,t₂], вычисляется по формуле

(5)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с по­мощью определенного интеграла.

5. По каким формулам находится объем тела вращения?

6. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом.

7. Напишите формулу для вычисления работы переменной силы.

8. По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?