Линейные операции над векторами

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 1.5. Векторы

План:

1. Основные определения

2. Линейные операции над векторами

3. Проекция вектора на ось

4. Формула для вычисления координат вектора

5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами

6. Деление отрезка в заданном отношении

7. Направляющие косинусы

8. Скалярное, векторное и смешенное произведения векторов

Основные определения

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек, про которые известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Обозначается вектор: Линейные операции над векторами - student2.ru или Линейные операции над векторами - student2.ru , где А – начало вектора, В – его конец (рис. 1).

Линейные операции над векторами - student2.ru

Рис. 1 Коллинеарные векторы

В определении вектора ничего не сказано о точке его приложения, следовательно, она не фиксирована, и вектор можно перенести в любую точку пространства параллельно самому себе, сохраняя его направление.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (модулем или абсолютной величиной) и обозначается

Линейные операции над векторами - student2.ru или Линейные операции над векторами - student2.ru .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (см. рис. 1, б, в, г) в противном случае векторы называются неколлинеарными.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях, в противном случае векторы некомпланарны.

На рис. 2 а) показаны компланарные векторы Линейные операции над векторами - student2.ru .

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют равные длины.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором Линейные операции над векторами - student2.ru .

Нулевому вектору можно придать любое направление. Очевидно, что нулевой вектор – это точка, Линейные операции над векторами - student2.ru .

Линейные операции над векторами - student2.ru

Рис. 2. Компланарные векторы. Операции над векторами

a)

Линейные операции над векторами

К линейным операциям относятся сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов Линейные операции над векторами - student2.ru и Линейные операции над векторами - student2.ru называется вектор Линейные операции над векторами - student2.ru , направленный из начала вектора Линейные операции над векторами - student2.ru в конец вектора Линейные операции над векторами - student2.ru , при условии, что начало

вектора Линейные операции над векторами - student2.ru совпадает с концом вектора Линейные операции над векторами - student2.ru (рис. 2, б): Линейные операции над векторами - student2.ru .

Можно показать, что если векторы Линейные операции над векторами - student2.ru и Линейные операции над векторами - student2.ru неколлинеарны, то вектор Линейные операции над векторами - student2.ru - диагональ параллелограмма, построенного на векторах Линейные операции над векторами - student2.ru и Линейные операции над векторами - student2.ru , приведенных к одному началу (см. рис. 2, в).

Можно найти сумму любого конечного числа векторов, если каждый последующий слагаемый вектор будет выходить из конца предыдущего (рис. 2, г). Так, например, суммой векторов Линейные операции над векторами - student2.ru будет замыкающий вектор Линейные операции над векторами - student2.ru , направленный из начала вектора Линейные операции над векторами - student2.ru в конец последнего вектора Линейные операции над векторами - student2.ru .

Произведением вектора Линейные операции над векторами - student2.ru на действительное число l называется вектор Линейные операции над векторами - student2.ru , коллинеарный вектору Линейные операции над векторами - student2.ru , длина которого равна Линейные операции над векторами - student2.ru , а направление совпадает с Линейные операции над векторами - student2.ru , если l > 0 и противоположно Линейные операции над векторами - student2.ru , если l < 0. (Если l = 0, то Линейные операции над векторами - student2.ru ).

Наши рекомендации