Линейные операции над векторами

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ...................................................… §1. Основные определения и линейные операции ............................... §2. Линейная зависимость векторов .................................................….. §3. Разложение вектора на составляющие........................................….. §4. Векторный базис, координаты вектора.......................................….. §5. Скалярное произведение векторов..............................................….. §6. Векторное произведение векторов..............................................….. §7. Векторно-скалярное произведение трех векторов....................…...   ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.................................….. §1. Декартова прямоугольная система координат ...........................….. § 2. Простейшие задачи аналитической геометрии..........................….. §3. Важнейшие системы координат на плоскости и в пространстве ... §4. Уравнения линий и поверхностей ...............................................…. §5. Линейные образы на плоскости ...................................................…. §6. Взаимное расположение двух прямых ........................................…. §7. Определение расстояния от точки до прямой.............................…. §8. Пучок прямых на плоскости.........................................................…. §9. Линейные образы в пространстве.................................................…. §10. Взаимное расположение двух плоскостей.................................…. §11. Расстояние от точки до плоскости..............................................…. §12. Прямая линия в пространстве.....................................................…. §13. Взаимное расположение двух прямых.......................................…. §14. Расстояние между скрещивающимися прямыми......................…. §15. Прямая и плоскость в пространстве...........................................…. §16. Пучок плоскостей.........................................................................…. §17. Линии второго порядка на плоскости........................................….. §18. Поверхности второго порядка....................................................….. §19. Преобразование координат на плоскости.................................….. §20. Исследование уравнения второго порядка на плоскости........….   ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.......................... .….. §1. Числовые матрицы........................................................................…... §2. Определители...............................................................................…… §3. Миноры и алгебраические дополнения......................................….. §4. Разложение определителя по элементам строки или столбца…… §5. Квадратные матрицы..................................................................……. §6. Система n линейных уравнений с n неизвестными.................……. §7. Ранг матрицы...............................................................................……. §8. Система линейных алгебраических уравнений........................…… §9. Структура решения системы линейных уравнений.................…… §10. Линейные пространства............................................................…… §11. Линейные операции над векторами, заданными в произвольном базисе..................................................................………………………… §12. Линейные преобразования........................................................…… §13. Невырожденные линейные преобразования...........................…… §14. Евклидовы пространства...........................................................…… §15.Ортогональные матрицы...........................................................……. §16. Квадратичные формы................................................................…… §17. Аффинные пространства...........................................................…… §18. Евклидово точечно-векторное пространство. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду.................……………..          

ГЛАВА 1

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§ 1 .ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

линейные операции над векторами - student2.ru A B
 
  линейные операции над векторами - student2.ru

линейные операции над векторами - student2.ru

Рис.1. линейные операции над векторами - student2.ru

Вектором называется направленный отрезок линейные операции над векторами - student2.ru , где точка линейные операции над векторами - student2.ru называется началом, точка линейные операции над векторами - student2.ru - линейные операции над векторами - student2.ru концом вектора. Обозначается вектор символом линейные операции над векторами - student2.ru или линейные операции над векторами - student2.ru (рис.1). Длина отрезка называется модулем (длиной) вектора и обозначается символом линейные операции над векторами - student2.ru или линейные операции над векторами - student2.ru .

Векторы представляют математическую абстракцию физических векторных величин, которые характеризуются численным значением и направлением в пространстве. Таковы, например, перемещение, скорость, сила, напряженность магнитного поля, напряженность электрического поля. Векторы, как и физические векторные величины, делятся на три группы:

1) Свободные векторы, которые можно перемещать в пространстве параллельно самому себе; они характеризуются модулем и направлением; за начало свободного вектора можно принять любую точку пространства;

2) Скользящие векторы, которые можно перемещать по данной прямой, называемой линией действия вектора; они характеризуются модулем, направлением и линией действия; за начало скользящего вектора можно принять любую точку прямой, на которой он расположен;

3) Связанный (закрепленный) вектор, который характеризуется модулем, направлением и точкой, где расположено начало вектора.

Если особо не оговорено, то в дальнейшем под словом “вектор” подразумевается свободный вектор.

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Векторы линейные операции над векторами - student2.ru называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены (рис. 2)

Равенство векторов записывается в виде линейные операции над векторами - student2.ru .

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

A B     линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 2.

Векторы линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru называются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Коллинеарность векторов линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru обозначается символом линейные операции над векторами - student2.ru || линейные операции над векторами - student2.ru . Символы линейные операции над векторами - student2.ru ­­ линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru ­¯ линейные операции над векторами - student2.ru означают, что векторы линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru коллинеарны и соответственно одного и противоположного направления.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

НУЛЬ - ВЕКТОР

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым (нуль-вектором) и обозначается символом `0.Направление нуль-вектора не определено.

ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР (ОРТ)

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным или ортом.

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 3.

Углом между векторами линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru называется наименьший из двух углов между ними, проведенными из одной точки (приведенными к общему началу) (рис.3).

Из определения следует, что

линейные операции над векторами - student2.ru

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРОМ И ОСЬЮ

  Осью называется прямая с выбранным положительным направлением. Направление оси может быть определено при помощи какого-нибудь ненулевого вектора линейные операции над векторами - student2.ru (рис.4). Углом между осью и вектором линейные операции над векторами - student2.ru называется угол линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 4

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

(НА НАПРАВЛЕНИЕ ДРУГОГО ВЕКТОРА)

Проекцией вектора линейные операции над векторами - student2.ru на ось линейные операции над векторами - student2.ru (на направление вектора линейные операции над векторами - student2.ru ) называется число линейные операции над векторами - student2.ru (рис.4) и обозначается символом линейные операции над векторами - student2.ru или линейные операции над векторами - student2.ru .

Замечание. Если вектор линейные операции над векторами - student2.ru - единичный, то линейные операции над векторами - student2.ru .

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru   линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru     линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 5.

Пусть даны векторы линейные операции над векторами - student2.ru . Из данных векторов строим ломаную, выбирая за начало вектора линейные операции над векторами - student2.ru конец вектора линейные операции над векторами - student2.ru (рис.5).

Определение. Суммой векторов линейные операции над векторами - student2.ru называется вектор линейные операции над векторами - student2.ru , который замыкает ломаную, построенную из данных векторов, причем начало вектора линейные операции над векторами - student2.ru совпадает с началом первого слагаемого, конец - с концом последнего слагаемого (правило многоугольника).

линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru     линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 6.

Обозначение суммы:

линейные операции над векторами - student2.ru

Из определения суммы следует правило параллелограмма для двух слагаемых (рис.6).

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ

1. линейные операции над векторами - student2.ru (коммутативность суммы)

2. линейные операции над векторами - student2.ru (ассоциативность суммы).

Доказательство свойств.

Первое свойство очевидно из рис.6. Для доказательства второго свойства строим ломаную из векторов линейные операции над векторами - student2.ru (рис.7). Из построения видно, что линейные операции над векторами - student2.ru .

линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 7.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Разностью линейные операции над векторами - student2.ru двух векторов называется третий вектор линейные операции над векторами - student2.ru такой, что линейные операции над векторами - student2.ru . Для построения вектора линейные операции над векторами - student2.ru векторы линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru приводим к общему началу и по правилу многоугольника находим вектор линейные операции над векторами - student2.ru так, чтобы линейные операции над векторами - student2.ru (рис. 8) .Получаем, что вектор линейные операции над векторами - student2.ru направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru     линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 8. линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru линейные операции над векторами - student2.ru   линейные операции над векторами - student2.ru Рис. 9.

Замечание. Векторы линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru служат диагоналями параллелограмма, построенного на векторах линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru (рис.9)

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯР)

Пусть даны вектор линейные операции над векторами - student2.ru и скаляр линейные операции над векторами - student2.ru . Тогда линейные операции над векторами - student2.ru , где линейные операции над векторами - student2.ru и линейные операции над векторами - student2.ru при линейные операции над векторами - student2.ru , линейные операции над векторами - student2.ru при линейные операции над векторами - student2.ru .

Наши рекомендации