Линейные операции над векторами

Векторы

1 На плоскости даны два вектора и . Найдите разложение вектора по базису .

2 Даны три последовательные вершины параллелограмма , , . Найдите его четвертую вершину .

3 Даны вершины четырехугольника : , , , . Докажите, что его диагонали взаимно– перпендикулярны.

4 В четырехугольнике , , . Найдите разложение вектора , где и ― середины диагоналей и по векторам , , .

5 Дан правильный шестиугольник . Найдите разложение векторов , , , по векторам , .

6 Дана трапеция , у которой основание в два раза больше основания . Точки и ― середины оснований. Найдите разложение векторов , и по векторам , .

7 В треугольнике проведены медианы , , . Докажите, что .

8 Точка ― центр правильного шестиугольника . Найдите разложение векторов , , , по векторам , .

9 Дан параллелепипед , в котором , , . Разложите вектор по векторам , и , где ― точка пересечения и .

10 Дан параллелограмм , , , , . Выразите вектор через векторы и , если , .

11 Дан параллелограмм , , , , . Выразите вектор через векторы и .

12 Дан параллелограмм , , , , . Выразите вектор через векторы и .

13 Даны три вектора , , . Найдите разложение векто-ра по векторам и . Чему равны координаты вектора в базисе ?

14 Найдите разложение вектора по векторам и , если , и . Чему равны координаты вектора в базисе , если , ?

15 В ромбе за базисные взяты векторы и . Найдите координаты векторов , , , в этом базисе.

16 На трех некомпланарных векторах , и построен параллелепипед . Найдите координаты векторов , , , , , , , , в базисе .

17 В правильном шестиугольнике векторы и выбраны в качестве базисных. Найдите в этом базисе координаты векторов , , , .

18 Пусть ― произвольный базис на плоскости. Диагонали параллелограмма построены на векторах и . Найдите координаты этих диагоналей.

19 Проверьте, что четыре точки , , , служат вершинами трапеции.

20 Дан тетраэдр . , , , , . Выразите вектор через векторы , , .

21 На плоскости даны два вектора и . Найдите разложение вектора по базису .

22 Даны точки , , , . Проверьте, что векторы и коллинеарны; установите, длина которого из них больше и во сколько раз, как они направлены – противоположно или сонаправленно?

23 Даны три вектора , , . Определите разложение вектора по базису .

24 На плоскости даны четыре точки , , , . Определите разложение векторов , , и , принимая в качестве базисных и .

25 В ромбе даны диагонали , . Разложите по этим двум векторам все векторы, которые совпадают с медианами .

26 Даны три вектора , , . Найдите разложение вектора по базису .

27 Векторы , , образуют треугольник . Выразите через векторы , , векторы , , , которые совпадают с медианами треугольника .

28 Проверьте, является ли четырехугольник с вершинами в точках , , , квадратом.

29 Дан треугольник с вершинами , , . Вычислите длину медианы, проведенной из вершины , и периметр .

30 Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , .