Логарифмический тренд

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: = a + b ln .

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов ), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень­шаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо­положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте­пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее

Адаптивные методы

Опр. Адаптивными методами прогнозирования (или моделями экспоненциального сглаживания) называется методы, позволяющие строить самокорректирующиеся ЭММ, которые учитывают результат реализации прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и строят прогноз с учетом полученных результатов.

Инструментом прогноза в адаптивных методах прогнозирования служат математические модели, изначальная оценка параметров, которых осуществляется обычно по некоторой выборке исходного ряда, называемого обучающей последовательностью.

Алгоритм построения модели адаптивного прогнозирования укладывается в следующую схему:

Для начала делается оценка начальных условий (так называемые нулевые значения адаптируемых параметров), затем делается прогноз на один шаг вперед, полученные прогнозные значения сравниваются с фактическими значениями. Если ошибка прогноза превышает заданной наперед определенной погрешности, то производят модификацию модели, и с учетом этого строят новый прогноз, далее на второй шаг, и опять сравнивают полученный прогноз с фактической реализацией процесса. Процесс повторяют до тех пор, пока разница, между прогнозным и фактическим значениями, не станет минимальной. Таким образом, будут получены параметры адаптируемой модели, и с учетом их значений строят ретроспективный прогноз.

37. Модель Брауна.

Самой простой моделью адаптивного прогнозирования является модель Брауна, которая выглядит следующим образом:

х с волной(?)=а0т+ а1т* т (1).где - прогноз, выполненный на ? шагов вперед на t-м шаге адаптации, - адаптируемые параметры модели, ? – период упреждения. Параметры рассчитываются по формулам:

система:а0т=2St (1) - St (2), f1t=1 -бетта/бетта *(St(1)- St(2)), (2) где - экспоненциальные средние соответственно 1-го и 2-го порядков; ? – параметр сглаживания (адаптации). Иногда параметр сглаживания обозначают как ?=1-? Экспоненциальная средняя 1- го порядка представляет собой сумму взвешенных значений переменной за весь предшествующий период адаптации и определяется формулой:St(1)=(1-бетта)*хе + бетта*St-1(1),: (3)

где ? – параметр сглаживания , или так называемый весовой коэффициент, - фактическое значение обучающего множества, - экспоненциальная средняя на предшествующем шаге.

Экспоненциальную среднюю можно выразить через предшествующую экспоненциальную среднюю : St-1(1)=(1-бетта)*хе-1 + бетта*St-2(1), (4) подставив (4) в (2) получим:St(1)=(1-бетта)*хе+бетта*(1-бетта)*хt-1+бетта в кв* St-2(1),(5)Аналогично можно выразить через предшествующую экспоненциальную среднюю и подставить в уравнение (3) и , и , и т.д. Отсюда имеем St-2 (1)= (1-бетта)*сумма от 0 до 1 БЕТТА (j)*хt-j+бетта (t)*S0(1).(6) Таким образом, применив такую процедуру экспоненциального сглаживания к исходному ряду, получим сглаженный ряд первого порядка. Повторное применение процедуры экспоненциального сглаживания уже к сглаженному ряду первого порядка, называется процедурой экспоненциального сглаживания второго порядка (к применяем формулу (3)):St(2)=(1- бетта)*St(1)+ бетта*St-1 (2),(7) Начальные значения экспоненциальных средних будут определяться по формулам:система:S0(1)=a00- (бетта/1- бетта) *а10; S0 (2)=a00-(2*бетта/(1-бетта))*а10,(8),Система (8) получена решением системы (2) относительно при t=0.

Начальные значения параметров (необходимы для решения системы (8)) рассчитываются как коэффициенты регрессии хт=а00+а10*т .Отметим, что значение параметра адаптации ?=1-? лежит в интервале (1; 0). Выбор значения ? зависит от того, каким значениям исходного ряда (начальным или конечным) придается больший вес. Если требуется придать вес более поздним значения ряда (увеличить степень реагирования модели на последние изменения), то берут значения ? больше 0,5. Если же хотят получить более сглаженную картину тенденции развития ряда, то есть стремятся избежать краткосрочных изменений и повысить степень устойчивости модели, то значения ? берут меньше 0,5, и таким образом придают вес ранним наблюдениям ряда.

Будем рассматривать два способа определения параметра адаптации ?:

1) метод Брауна алфа=2/m+1, где m –число наблюдений в ряду.

2) метод выбора ?, исходя из минимума средней квадратической ошибки между расчетным и фактическим значениями.

Иногда адаптивную модель Брауна называют моделью линейного роста Брауна.

Модель Хольта.

Модель Хольта, содержащая два параметра адаптации, выглядит следующим образом: х с волной е(р)=ае+бе*р (3.1.),где - прогноз, выполненный на ? шагов вперед после t шагов адаптации, - корректируемые параметры модели на каждом шаге t, ? – период упреждения прогноза. Адаптация параметров модели происходят по следующим формулам:система:ае=альфа1*х1+ (1- альфа)*(ае-1+бе-1); бт=альфа2*(фе-фе-1)+(1-фльфа2)*бт-1,(3.2) где ?[0. 1] – параметры адаптации.

1. Модель Хольта-Уинтерса.

Модель Хольта-Уинтерса имеет другое название адаптивной сезонной модели с линейным трендом имеет три параметра адаптации . Различают аддитивную и мультипликативную модель Хольта-Уинтерса в зависимости от того, как включена сезонная составляющая (умножение или сложение). Рекуррентные формулы для обновления мультипликативной модели:система:а0е=альфа*(хт/фт-1)+(1-альфа1)*(ф0е-1+ф1т-1); а1т=альфа2*(а0т-а0т-1)+(1-альфа2)*ат-1;фе=альфа3*(хт/а0т)+(1-альфа3)*фе-ий

(4.1) где - адаптируемые параметры линейного тренда на t-м шаге адаптации, - параметры адаптации, - адаптируемый параметр сезонных коэффициентов на t- м шаге адаптации, l – период сезонности. Прогнозирование в мультипликативной модели на ? шагов вперед осуществляется по формуле:х с фолной т+р=а0т+ф1т*р+фе-1+р, 4.5)Определение начальных параметров а00,а10,фий-1 ( i=0, 1, …,l) для параметров адаптации альфа 1 2 3 исходит из следующих требований: параметры а00,а10 определяются как коэффициенты регрессии хт=а00+а10*т, адаптируемые же коэффициенты сезонности определяются как среднее арифметическое значение индексов фс волной т=хт-у расч.т (для мультипликативной модели) и ф с волной=хт-у расч.т.

(для аддитивной модели), причем рассчитываются они для каждой одноименной фазы периода ( -расчетные значения линейного тренда).

Параметры альфа 1,2,3 определяются обычно из условия минимизации суммы квадратов ошибок, причем необходимо учитывать, что альфа 2 параметр сглаживания тренда, а - альфа3 параметр адаптации сезонных коэффициентов