Экспоненциальный тренд при k>1: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Цепные темпы, % к предыдущему	Уско- рение	Прирост ускорения к предыдущему периоду
	120,00	+20,00		-	-
	144,00	+24,00		+4,00	-
	172,80	+28,80		+4,80	+0,80
	207,36	+34,56		+4,76	+0,96
	248,83	+41,47		+6,81	+ 1,15
	298,60	+49,77		+ 8,30	+ 1,39

Таблица 7.7.

Экспоненциальный тренд при k<1:

Номер периода	Уровень	Абсолют- ные изме- нения (цепные)	Цепные темпы, % к предыдущему периоду	Уско- рение	Замедление ускорения
	160,00	-40,00		-	-
	128,00	-32,00		+8,00	-
	102,40	-25,60		+6,40	-1,60
	81,92	-20,48		+5,12	-1,28
	65,54	-16,38		+4,10	-1,02
	52,43	-13,11		+3,27	-0,83

По своему суще­ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз­можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь­ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ресурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен­ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави­сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей извест­ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про­цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже по крайней мере 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.

Для нахождения параметров «a» и «k» уравнение экспоненциального тренда логарифмируем:

(7.18).

В такой форме, т.е. для логарифмов, уравнение соответству­ет линейному, следовательно, метод наименьших квадратов дает для логарифмов «а» и «k» нормальные уравнения, аналогичные для параметров aи bлинейного тренда:

(7.19),

(7.20).

Так как номера периодов времени не логарифмируются, можноперенести начало отсчета в середину ряда и упростить систему:

; (7.21).

Приведем пример расчета экспоненциального тренда по данным рис. 7.4 (табл. 7.8).

Таблица 7.8.

Расчет экспоненциального тренда численности населения

Земли в 1950-2000 г.

Год						Тренд млн. чел.	Откло­нение от тренда,
		- 2.5	-6317,5	7,835	-19,588		-38
		-1.5	-4590,0	8,026	-12,339		-5
		-0. 5	-1863,5	8,223	-4,112		+64
		0.5		8.396	4.198		+53
		1.5	7711.5	8.564	12.846		+10
		2.5		8.726	21.815		-90
			12555.5	49.77	3.12		-6

или а = 4004;

или k = 1.195.

Уравнение тренда: .

Итак, население Земли в период времени с 1950 по 2000 г. Возрастало со среднегодовым темпом роста, равным корню десятой степени из среднего темпа за десятилетие, найденного по данным таблицы 7.8, т.е. или 1.8% прироста в год. Прогнозировать дальнейшую динамику численности населения по рассчитанному тренду не стоит, так как уже в начале XXI века темп прироста стал замедляться. По прогнозам Венского Международного института прикладного системного анализа, наиболее вероятный вариант роста населения Земли в нашем веке – постепенное замедление до полного его прекращения к 2100 году при уровне населения 11.5 млрд. чел., а затем снижение числа жителей Земли до 5 млрд. чел.

7.4. Гиперболический тренд и его свойства.

Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:

(7.22).

Если основной параметр гиперболы b>0 , то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при , . Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.

Такая тенденция наблюдается, например (рис. 7.5), при изу­чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, материалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.

Если параметр b<0, то с возрастанием t, т.е. с течением времени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине «а» при .

Рис. 7.5. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии

(г на 1 кВт-ч) на электростанциях региона.

Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии (трансфор­матор тока, фотоэлемент и т.п.). По мере развития научно-технического прогресса эти КПД постепенно повышаются, не никогда не могут превысить определенного предела для каждо­го типа двигателя и не могут превысить 100% для любого преобразователя энергии. При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать года от середины ряда, так как значе­ния - должны быть всегда положительными.

Основные свойства гиперболического тренда:

1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускорение абсолютных изменений, темп изменения - все эти показатели не являются постоянными. При b>0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из­менения растут и стремятся к 100%.

2. При b<0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп­ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.

Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу­чае тенденцию такого процесса, показатели которого со временем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Иллюстрацией этих свойств может служить табл. 7.9.

Таблица 7.9.

Показатели динамики при гиперболическом тренде.

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Цепные темпы, % к предыдущему	Ускорение
	200,0	-	-	-
2	150,0	-50,0	75,0	-
	133,0	-16,7	88,9	+33,3
	125,0	-8,3	93,8	+8,4
	120,0	-5,0	96,0	+3,3
	116,7	-3,3	97,2	+ 1,7

Уравнение гиперболического тренда отличается от линей­ного уравнения тем, что вместо tв первой степени оно включает номера периодов времени (моментов) в минус первой степени. Соответственно нормальные уравнения метода наименьших квадратов примут вид:

(7.23),

(7.24).

Однако при этом нельзя, в отличие от линейного тренда, пе­реносить начало отсчета периодов времени в середину, так как гипербола не имеет постоянного параметра изменения уровней на протяжении всего периода, и все величины должны быть положительными.

Рассмотрим расчет гиперболического уравнения тренда (табл. 7.10) по данным рис. 7.5 - динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии на электростанциях региона (г на 1 кВт-ч).

Таблица 7.10.

Расчет гиперболического уравнения тренда.

Год						Тренд,	Откло­нение от тренда,
			1,000	1,000			-5
			0,500	0,250			+14
			0,333	0,111			+8
			0,250	0,062			-4
			0,200	0,040			-8
			0,167	0,028			_4
			0,143	0,020			-1
		-	2,593	1,511

Нормальные уравнения МНК:

7а + 2,593 b = 2555,

2,593а + 1,511 b = 1041.

Решая систему уравнений, получаем: а = 301,3; b = 171,9. Уравнение гиперболического тренда удельного расхода топлива имеет вид:

Величина удельного расхода 301,3 - это предел, к которому стремится экономия топлива при данной технологии тепловых электростанций региона. Существенного резерва экономии уже нет.

7.5. Логарифмический тренд и его свойства.

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда:

(7.25).

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы­соту пли снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен­нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та­кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития сельского хозяйства, например, урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при­даст тенденции ускорение.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем.

3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте­пенно уменьшаются.

4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к
100% при .

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

Особенность этого типа тренда заключается в том, что ло­гарифмировать необходимо номера периодов (моментов) вре­мени. Следовательно, все номера должны быть по­ложительными числами. Однако это вовсе не означает, что нумерацию следует начинать с числа 1. Дело в том, что величина логарифма быстро возрастает при переходе от единицы к двум: натуральный логарифм единицы равен нулю, а логарифм двух равен 0,693, имеем рост на 0,693; в то же время логарифм четырех равен 1,386, а логарифм пяти равен 1,609, имеем при­рост лишь на 0,223 и т.д. Если уровень изучаемого ряда вна­чале возрастает втрое быстрее, чем между четвертым и пятым периодом, тогда нумерация от единицы допустима. Если же уменьшение роста уровней происходит значительно медлен­нее, нумерацию периодов (моментов) следует начинать не с единицы, а с большего числа.

Покажем методику расчета логарифмического уравнения тренда на примере динамики валового сбора чая в Китае (см. табл. 7.11).

Таблица 7.11.

Расчет логарифмического тренда валового сбора чая в Китае

Год	(в тыс. т.)				Откло­нение от тренда,
				5		1
			1,386
			1,609				-50
			1,792		-10
			1,946		-6		-102
			2,079				-102
			2,197		-6
			2,303		-17
			2,398		-21
			2,485		-12		-216
			2,565
			2,639
			2,708
			2,773				-11
			2,833		-11
			2,890		-6		-132
			2,944				-44
			2,996		-2		—
Итого		-	-		k=6	652,6

Временной ряд, прежде всего, нужно разделить на несколько частей, например, на три части, и в каждой части вычислить сред­ний уровень, тыс. т:

1978-1983 гг. - 331,7 т.;

1984-1989 гг. - 482,7 т.;

1990-1994 гг. - 566,0. т.

Эти усредненные уровни относятся соответственно к сере­дине между 1980 и 1981 гг., к середине между 1986 и 1987 гг. и к 1992 г. Если первую дату обозначить годом номер х, то вторая будет годом номер х + 6, а третья - годом номер х + 11,5. Исхо­дя из уравнения логарифмического тренда, имеем уравнения:

(7.26),

(7.27),

(7.28).

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

. (7.29).

Вычитая второе уравнение из третьего, получим:

(7.30).

Делим второй результат на первый:

(7.31).

Теперь необходимо подобрать такое значение переменной «х», при котором выполняется вышеприведенное равенство. Искомое значение х = 6.5. Подставляя величину «х» в уравнения (7.29) вычислим значения параметра b: b = 230.9 и b = 228.4. Среднее из этих двух значений равно 229.6. Теперь, подставляя значения «х» и b в уравнения (7.26-7.28) получим три оценки параметра «а»: а = -98.1; -97.2; -97.6. Средняя величина а = -97.6.

Уравнение логарифмического тренда имеет вид:

.

7.6. Логистический тренд и его свойства.

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна­чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста­новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за­медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить изменение доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих телевизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России и т.д. В некоторых зарубеж­ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе­динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на вто­ром и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными переменными свойствами, но постоянным направлением из­менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах. Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди­ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере­хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи­стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри­мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри­вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти­летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возможно было только для принципиально новых типов фотоаппара­тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

(7.32).

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су­щества задачи, обозначаемыми у_тах и у_тiп, то формула логис­тического тренда принимает вид:

(7.33).

Таблица 7.12.

Показатели динамики при логистическом тренде: .

Номер периода	Уровень	Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Ускорение	Темп роста к предыдущему периоду, %
	51,0	-	-	-
	54,4	+3,4	-	106,7
	67,9	+ 13,5	+ 10,1	124,8
	106,6	+38,7	+25,2	157,0
	159,7	+53,1	+ 14,4	149,8
	188,6	+28,8	-24,2	118,1
	197,3	+8,7	-20,2	104,6
	199,4	+2,1	-6,6	101,1

Как видно из табл. 7.12, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положитель­ны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по мо­дулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений при­ближенно равна нулю (если ряд продлить от до + , то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца пер­вой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длин­ный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100%.

При логистическом тренде со снижающимися уровнями по­казатели динамики изменяются в следующем порядке: отрица­тельные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при . Ускорения в первой половине периода отрицательные и по мо­дулю возрастающие; во второй половине периода ускорении положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100%, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100% в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Логистическая тенденция динамики доли тепловозной и электровозной тяги в грузообороте железных дорог СССР.

При расчете параметров логистического тренда логарифмируют величину, производную от уровней ряда, но не номера периодов (моментов), эту нумерацию поэтому рациональнее проводить от середины ряда. Особенностью логистического тренда является этап обоснования значений максимального и минимального уровней временного ряда. Это обоснование осуществляется на основе, во-первых, уровней фактического ряда, во-вторых, теоретических, т.е. внешних по отношению к статистике, соображе­нии, относящихся к содержанию изучаемого процесса.

Уравнение логистического тренда в общем виде непосредственно логарифмировать невозможно. Преобразуем его в форму

(7.34)

и обозначим его левую часть греческой буквой кси, т.е.

или , а

Условие метода наименьших квадратов:

(7.35).

После вычисления частных производных по а₀ и по а , полу­чаем нормальные уравнения МНК для логистической кривой, аналогичные для прямой линии, так как после проведения подстановки с использованием буквы кси, фактически проведена линеаризация функции логистической кривой:

(7.36),

(7.37).

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда система упрощается до двух уравнений с одним неизвестным в каждом из них: и . Откуда:

и (7.38).

Алгоритм расчета логистической кривой состоит из десяти этапов:

1) выбор величин и ;

2) вычисление по фактическому временному ряду значений

3) вычисление ;

4) нумерация периодов или моментов времени от середины
ряда;

5) умножение и ;

6) подсчет итоговых сумм;

7) вычисление и ;

8) вычисление ;

9) вычисление для всех периодов;

10)вычисление уровнем тренда по формуле (7.38).

Для практического закрепления материала рассчитать самостоятельно параметры логистического тренда, в соответствии с которым развивается динамика рыночных цен акций компании «АВС», приведенных во второй колонке таблицы 7.13.

Таблица 7.13.

Расчет логистического тренда.

№ месяца
	15.0	17,00	2,833	-6,5	-18,416	16,803	15,1	-0,10	0,01
	17,0	11,86	2,473	-5,5	-13,601	10,854	17,6	-0,60	0,36
	20,0	8,00	2,079	-4,5	-9,357	7,017	21,2	-1,20	1,44
	26,4	4,49	1,501	-3,5	-5,255	4,535	26,3	+0,10	0,01
	33,5	2,83	1,040	-2,5	-2,601	2,931	32,9	+0,60	0,36
	43,2	1,71	0,537	-1,5	-0,805	1,814	41,1	+2,16 •	4,41
	51,8	1,15	0,142	-0,5	-0,071	1,224	50,5	+ 1,30 •	1,69
	61,8	0,74	-0,305	0,5	-0,152	0,791	60,3	+ 1,50 •	2,25
	70,7	0,48	-0,728	1,5	-1,093	0,510	69,6	+ 1,10 •	1,21
	78,9	0,31	-1,183	2,5	-2,958	0,330	77,7	+ 1,20 •	1,44
	84,5	0,21	-1,570	3,5	-5,495	0,213	84,2	+0,30	0,09
	88,8	0,14	-1,951	4,5	-8,779	0,138	89,1	-0,30	0,09
	92,4	0,09	-2,383	5,5	-13,109	0,089	92,6	-0,20	0,04
	94,4	0,07	-2,713	6,5	-17,633	0,058	95,1	-0,70	0,49
	778,4	-	-0,228	0,0	-99,325	-	773,3	-	13,89

Уравнение логистического тренда динамики рыночной цены акции компании «АВС» имеет вид:

(7.39).

Напомним, что, в отличие от прямой и параболы, алгоритм рас­чета других кривых не предусматривает автоматического равен­ства сумм выравненных и фактических уровней, они совпадают только при идеальном выражении тенденции ряда данным урав­нением тренда.

7.7. Методы распознавания типа колебаний.

Мы уже знаем, что временной ряд, как правило, со­держит два основных элемента: тенденцию динамики и колеб­лемость. Эти составляющие в разных реальных временных рядах находятся в неодинаковом соотношении, а в крайних случаях остается один элемент: ряд без колеблемости уровней представ­ляет собой тренд в чистом виде, а ряд без тенденции динамики, но с колебаниями уровней около постоянной средней величины - это стационарный временной ряд. Оба крайних случая крайне редки на практике. Обычно тенденция и колеблемость сочета­ются в исходном ряду, и методы статистического анализа, изло­женные в начале этой главы, призваны «очистить» тенденцию от колебаний, измерить ее параметры. Колеблемость в этом слу­чае выступала как помеха, «шум», мешающий выделить и интерпретировать «сигнал», т.е. параметры тренда. Нередко в учебной литературе взгляд на колеблемость, как на помеху в изу­чении тенденции, преобладает или является единственным.

Однако сама колеблемость также представляет собой важ­ный предмет статистического исследования временных рядов. Значение колеблемости многогранно:

1) она позволяет выдвинуть гипотезы о причинах колебаний, о путях влияния на них;

2) на основе параметров колеблемости ее можно прогнозировать или учитывать как фактор ошибки прогноза, т.е. сделать прогноз наиболее надежным и (или) точным;

3) на основе параметров и прогнозов колебаний можно рассчитать резервы, страховой запас, необходимый для преодоления вредных последствий колебания уровней, например объемов продаж.

Колебания уровней временного ряда могут иметь разную форму, разное распределение по времени, разную частоту и ам­плитуду. В данной главе рассматриваются методы исследова­ния этих свойств колеблемости, их отображения в системе показателей, характеризующих колеблемость тех или иных яв­лений. Что же касается дальнейшего изучения причин, механизма колебаний, то эта задача выходит за пределы статистического исследования и должна выполняться наукой, изучающей те явления и процессы, динамика которых отражена временным рядом.

Графическое отображение и основные свойства

разных типов колебаний.

Так же, как изучение тенденции, исследование колебаний целесообразно начать с графического изображения - обобщаю­щего, целостного впечатления о временном ряде. Все многообразие встречающихся колебаний во временных рядах можно представить как «смесь» в разных пропорциях трех основных типов:

• пилообразной или маятниковой колеблемости;

• долгопериодических циклов колебаний;

• случайно распределенной во времени колеблемости.

Графическое изображение каждого из этих типов и описание основных свойств каждого типа колеблемости, во-первых, помогают по виду фактического ряда определить, каков преобладаю­щий в нем тип колебаний, во-вторых, помогают экономисту, менеджеру, другому специалисту понять, какие последствия могут иметь колебания для его сферы деятельности и как с этими колебаниями (если нужно) бороться.

7.7.1. Пилообразная колеблемость.

Характерной чертой этого типа колеблемости является пра­вильное, регулярное чередование отклонений от тренда вверх и вниз, т.е. положительных по знаку и отрицательных, через одно. Поскольку это похоже на колебание маятника часов впра­во-влево, данный тип колеблемости называют также маятни­ковой колеблемостью. Название же пилообразная происходит от вида графика (рис. 7.7), похожего на зубья пилы (хотя величи­на зубьев, разумеется, не должна быть, как у хорошей пилы, одинаковой).

Свойства пилообразной колеблемости таковы: из-за час­той смены знака отклонения от тренда не происходит аккумуляции ни положительных, ни отрицательных отклонений. Следовательно, нет необходимости создавать для их компенсации значительный страховой запас. Регулярность чередования отклонений обеспечивает их надежное прогнозирование: если в данный период отклонение отрицательное, то в периоде 5 вперед оно будет положительным (данный период счи­тать нулевым номером). Число положительных отклонений при достаточно большой длине ряда равно (точнее, стремит­ся к равенству) числу отрицательных отклонений, а общее ко­личество локальных экстремумов (отклонений от тренда, которые либо меньше, либо больше двух соседних по алгеб­раической величине) равно числу уровней.

Рис. 7.7. Пилообразная колеблемость.

Причины пилообразной колеблемости зависят как от внут­ренних факторов системы, так и от внешних. Внутренние для биржевой системы причины пилообразной колеблемос­ти цен акций - это поступление информации об основных параметрах производства и сбыта продукции данной корпорацией. Внешние причины пилообразной колеблемости цен акций на бирже – это изменение макроэкономических данных в стране, воздействие политических рисков, влияние конъюнктурных колебаний мирового финансового рынка.

Распознать наличие пилообразных колебаний как элемен­та во временном ряду можно, во-первых, по виду графика, во-вторых, подсчетом числа локальных экстремумов в ряду отклонений от тренда: чем это число ближе к числу уровней ряда, тем большую роль играют пилообразные колебания в их общем комплексе. Третий способ распознавания - по знаку и величине коэффициента автокорреляции отклонений от трен­да первого порядка, т.е. со сдвигом (лагом) на 1 временной период.

Коэффициент автокорреляции отклонений рассчитывается по формуле:

(7.40).

Числитель коэффициента - сумма произведений каждого отклонения на следующее, кроме последнего, в ряду отклоне­ний. В этих произведениях первое отклонение и последнее, т.е. и , участвуют только по одному разу, а все остальные отклонения - по два раза. Соответственно в знаменателе в сумму квадратов отклонений от 2 до n-1 входят квадраты с еди­ничным весом, а квадраты первого и последнего отклонений – с половинным весом.

Чем ближе коэффициент автокорреляции к -1, тем боль­шую роль играет пилообразная составляющая в общей колеб­лемости изучаемого временного ряда. При коэффициенте, по алгебраической величине превышающем 0.3, можно считать пилообразную составляющую несущественной или отсутствующей вовсе, если длина ряда не больше 20 уровней.

7.7.2. Долгопериодическая циклическая колеблемость.

Характерной чертой этого типа колебаний является нали­чие нескольких (многих) подряд отклонений одного знака, за­тем сменяющихся примерно таким же количеством отклонений противоположного знака подряд. Затем весь цикл вновь повто­ряется, причем, как правило, длина всех циклов одинакова или хотя бы примерно равная. Если равенство отдельных циклов существенно нарушается, говорят о квазициклической колебле­мости, т.е. как бы циклической.

Свойства циклической колеблемости (рис. 7.8) таковы: от­клонения одного и того же знака следуют подряд в течение примерно половины длины цикла. Следовательно, эти отклонения аккумулируются, и для их компенсации (если таковая требует­ся) нужен большой страховой запас. Например, надой молока от коров находится ниже тренда в течение 6 месяцев года (с ок­тября до марта включительно) в большинстве сельхозпредпри­ятий Ростовской области и других регионов России. Следовательно, для удовлетворения спроса на молоко в осен­не-зимний период нужен запас в форме сухого молока, масла и других хранящихся молочных продуктов.

Рис. 7.8. Циклическая долгопериодическая колеблемость:

—•— фактические уровни
______ тренд.

Для прогнозирования циклическая колеблемость благопри­ятна, особенно если длина цикла строго постоянна. Прогноз на любой будущий период состоит из прогноза тренда и цик­лического отклонения от него, соответствующего фазе цикла в прогнозируемый период. Например, зная, что солнечная актив­ность имеет 10-11-летнюю периодичность и что предыдущий цикл имел максимум в 2000-2001 гг., можно уверенно прогно­зировать следующий максимум на 2010-2011 гг.

Как правило, за цикл наблюдаются два экстремума откло­нений от тренда - один максимум и один минимум. Следова­тельно, за период, состоящий из N уровней, насчитывается экстремумов:

(7.41),

где l - длина цикла. Причиной циклической колеблемости является какая-либо основная сила, влияющая на уровень изучаемого явления. Иначе говоря, есть главный фактор, вызывающий колебания. Сезон­ные колебания температуры, осадков, а следовательно, и про­изводства, и потребления многих видов продукции зависят от одного фактора - наклона земной оси к плоскости орбиты Зем­ли. Причина циклической колеблемости солнечной активнос­ти пока науке не известна.

Распознать циклическую долгопериодическую колеблемость можно по виду графика, подсчетом числа экстремумов в ряду отклонений от тренда и по коэффициенту автокорреляции от­клонений первого порядка. Если число локальных экстремумов в ряду отклонений мало, то можно предположить наличие цикличес­кой колеблемости. Поскольку отклонения одного и того же зна­ка следуют подряд, их произведения являются положительными числами, а отрицательные произведения встречаются лишь дважды за цикл - при пересечении графиком фактического ряда уровней тренда вниз и вверх. Следовательно, коэффициент ав­токорреляции при долгопериодической колеблемости – величи­на положительная, стремящаяся к +1 при . При наличии фактического коэффициента больше чем +0,3 можно считать, что в общей колеблемости временного ряда есть существенная циклическая составляющая, а при циклическая со­ставляющая является главной.

Для нахождения длины цикла, особенно если цикличность не строгая, а «квази», нужно последовательно вычислить коэф­фициенты автокорреляции отклонений от тренда разных поряд­ков, т.е. с лагом 1, 2, 3 и т.д. периодов времени. Наибольший по абсолютной величине коэффициент автокорреляции выявит длину цикла.

7.1.3. Случайно распределенная во времени колеблемость.

Характерной чертой данного типа колебаний является хао­тичность последовательности отклонений: после отрицательно­го отклонения от тренда может следовать снова отрицательное или даже два-три отрицательных отклонений, а может и положительное (два-три). Это как бы мелкие «куски» пилообразной и циклической колеблемости разных длин цикла, перемешан­ные друг с другом. Иногда случайно распределенную колебле­мость и называют «интерференция колебаний» (термин, заимствованный из физики).

Для колеблемости, изображенной на рис. 7.9, характерны два свойства:

• из-за хаотического чередования знаков отклонений от тренда их взаимопогашение наступает только на достаточно длительном периоде, а на коротких отрезках отклонения могут аккумулироваться, например, могут быть три неурожай­ных года подряд или два-три высокоурожайных. Значит, необходимы довольно значительные резервы, страховые запасы для
гарантии от колебаний;

• случайно распределенная во времени, колеблемость небла­гоприятна для прогнозирования, ибо в любом прогнозируемом периоде может осуществиться с равной вероятностью как по­ложительное, так и отрицательное отклонение от тренда. В данном случае прогнозировать можно лишь интервал, в котором с заданной вероятностью может оказаться уровень.

Рис. 7.9. Случайно распределенная во времени колеблемость.

Причиной случайно распределенных колебаний служит на­личие большого комплекса независимых или слабосвязаниых между собой факторов, влияющих на уровни изучаемого явления. Так, колебания объемов продаж ценных бумаг на бирже зависят от фазы экономического цикла в стране, уровня инфляции, валютного курса, объема денежной массы, притока/оттока иностранного капитала, от времени года и еще от многих других факторов. Практика статистических исследований колеблемости объемов продаж ценных бумаг показа­ла, что преобладают именно случайно распределенные коле­бания. Наличие множества примерно равноправных и независимых факторов означает также, что нельзя существен­но уменьшить колеблемость, воздействуя только на какой-либо отдельный фактор. Необходимо, если это возможно, регулировать все основные факторы.

Распознать случайно распределенную во времени колеб­лемость по виду графика труднее, чем два других типа коле­баний. Число локальных экстремумов может также колебаться. В среднем, как доказал английский статистик М. Кендэл, их число составляет при среднем квадратическом отклонении, равном . Ряд, изображенный на рис. 7.9, имеет 10 локальных экстремумов (точек перегиба ломаной ли­нии) при 2/3(15-2)=8,7 и среднем квадратичном отклонении, равном, . Как видим, фактическое число экстремумов попадает в интервал х± , т.е. вероятность того, что распределение отклонений от тренда является случайным, до­вольно велика, следовательно, эта гипотеза не может быть отклонена.

Коэффициент автокорреляции отклонений от тренда при случайно распределенной колеблемости стремится к нулю при . Если ряд состоит менее чем из 19-22 уровней, коэффици­енты автокорреляции первого порядка, не превышающие 0.3 по абсо­лютной величине, свидетельствуют о преобладании случайной компоненты в общем комплексе колебаний. В случае, изобра­женном на рис. 7.9, .

7.8. Измерение показателей силы и интенсивности колебаний.

Показатели силы и интенсивности колебаний аналогичны по построению, по форме показателям силы и интенсивности вариации признака в пространственной совокупности. По су­ществу они отличаются тем, что показатели вариации вычисля­ются на основе отклонений от постоянной средней величины, а показатели, характеризующие колеблемость уровней временного ряда, - по отклонениям отдельных уровней от тренда, который можно считать «подвижной средней величиной».

Первый показатель - амплитуда (размах) колеба­ний - разность между наибольшим и наименьшим по абсолют­ной величине отклонениями от тренда. Например, размах колебаний объема экспорта из Японии за 1988-1995 гг. (см. табл. 7.6) составил: 5 - (-4) = 9 млрд дол. Размах колебаний зат­рат условного топлива на 1 кВт-ч электроэнергии (см. табл. 7.10) составил: 14 - (-8) = 22 гтоплива на 1 кВт-ч.

Показа­тель амплитуды колебаний характеризует лишь крайние пределы, но не среднюю силу колеблемости. Чем длиннее ряд, тем больше вероятность того, что в нем встретится особенно большое отклонение от тренда. Поэтому с увеличением длины изучаемого периода возрастает в среднем и амплитуда колеба­ний в отличие от всех других показателей колеблемости, кото­рые не зависят от длины ряда.

Вторым показателем колеблемости по абсолютной величине (силе) является среднее по модулю отклонение от трен­да, которое мы обозначим как а(t):

(7.42).

Знак tотличает указанный и все последующие показатели от аналогичного среднего по модулю отклонения от постоянной средней величины, меры силы вариации в пространственной со­вокупности. Средний модуль отклонений измеряется в тех же еди­ницах, что уровни ряда. Например, согласно данным табл. 7.8 среднее по модулю отклонение от тренда численности населения Земли в 1950-2000 гг. может составить примерно 43.3 млн. чел.

Хотя средний модуль отклонений тренда вполне пригоден как обобщающий показатель силы колебаний за изучаемый пе­риод, но, как известно, модули имеют и существенные недостат­ки, в частности, с ними невозможно связать вероятностные законы распределения. Поэтому модули не пригодны для про­гнозирования доверительных границ возможных колебаний с заданной вероятностью.

Чаще всего в качестве третьего показателя силы ко­лебаний используется среднее квадратическое отклонение уров­ней ряда от тренда, обозначаемое как или .

Если речь идет только об измерении колеблемости во времен­ном ряду и не ставится задача оценки силы колебаний вообще в прогнозе на будущее, тогда следует вычислять и использовать обычное среднее квадратическое отклонение:

(7.43).

Если же речь идет о вычислении оценки генерального показа­теля колеблемости, а исходный временной ряд рассматривает­ся как выборка из генерального ряда, продолжаемого и в прошлое и в будущее, то следует учитывать потерю степеней свободы колеблемости и применять показатель:

(7.44),

где р - число параметров в уравнении тренда.

Причину учета числа параметров тренда можно проиллюст­рировать следующими примерами.

Линейный тренд имеет два параметра - а и b. Если из ряда уровней взять только уровни двух любых периодов, то, как из­вестно из геометрии, прямая точно пройдет через две любые точки, мы увидим только тренд и не увидим никаких колеба­ний. Аналогично, если оставить от ряда три любых уровня, тренд в форме параболы II порядка, имеющий три параметра, точно пройдет через три точки графика, в результате колеблемость ос­танется «за кадром», так как у нее нет ни одной степени свобо­ды. Поэтому, оценивая генеральное среднее квадратическое отклонение уровней от тренда, нужно учесть потерю степеней свободы колебаний на величину, равную количеству парамет­ров уравнения тренда. Именно такая несмещенная оценка гене­рального параметра может быть распространена на будущие периоды, т.е. она необходима в прогнозировании. Среднее квадратическое отклонение, как известно, входит в фор­мулу нормального закона распределения вероятностей, на его основе можно рассчитывать вероятности ошибок прогнозов и их доверительные границы.

Показатели относительной интенсивности колебаний.

Показатели относительной интенсивности вариации рассчи­тываются как отношение ее абсолютных показателей к посто­янной средней величине, относительной интенсивности колебаний - как отношение индивидуальных отклонений от­дельного периода к уровню тренда за этот же период, а обобщающие показатели - как отношение обобщающих показателей силы колебаний за весь ряд к обобщающему показателю уров­ней ряда - среднему уровню.

Напомним, что при криволинейном тренде средний уровень не равен свободному члену уравнения тренда, так же как и при прямолинейном тренде, но при отсчете периодов от начала, а не от середины ряда. В этих случаях делить обобщающий по­казатель силы колебаний S(t)нужно не на свободный член урав­нения, а на средний уровень изучаемого показателя. Аналогично коэффициенту пространственной вариации отношение среднего квадратического отклонения от тренда к среднему уровню временного ряда называют коэффициентом колеблемости, который обозначается для отличия от коэф­фициента пространственной вариации, как V(t). Его формула для оценки генеральной величины:

(7.45).

В заключение необходимо подчеркнуть, что любая погреш­ность в определении типа тренда или при расчете его пара­метров приводит к преувеличению показателей силы и интенсивности колебаний. Так как реальные временные ряды всегда отклоняются от строго линейной, параболической, эк­споненциальной или иной любой линии, то колеблемость всегда несколько преувеличивается за счет неполного соответствия истинной тенденции динамики какому-либо принятому типу линии тренда. Например, навер­няка часть колеблемости численности населения Земли на самом деле объясняется тем, что «истинная» тен­денция роста населения не являлась за 1950-2000 гг. строго экспоненциальной.

7.9. Представление синусоидальных колебаний в форме тригонометрического уравнения Фурье.

Выдающийся французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) предложил метод преобразования перио­дических функций в ряд тригонометрических уравнений, на­зываемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразова­ния Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколь­ко лет, а усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные ко­лебания. Рассмотрим сезонные колебания рыночной цены некоторой акции (табл. 7.14).

Таблица 7.14.

Преобразование сезонных колебаний в ряд Фурье