Парная линейная регрессия

Основные понятия эконометрики.

Вопросы:

7. Определение эконометрики и ее задачи.

8. Типы данных.

9. Терминология

10. Классификация экономических моделей.

11. Этапы экономического моделирования.

12. Виды зависимостей.

1.

Эконометрика – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимосвязи в экономике.

Она зародилась и получила свое развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. В современной эконометрике широко используются информатика, статистические пакеты прикладных программ.

Объект – экономика, различные экономические явления и взаимосвязи.

Предмет – их количественные характеристики.

Задачи: 1. построение эконометрических моделей и оценивание их параметров.

2. проверка гипотез, о свойствах показателей и формах их связей.

Эконометрический анализ - основа для экономического анализа и прогнозирования.

2.

Эконометрика базируется на реальных экономических данных.

2 типа данных:

1. пространственные данные – данные о каком-либо экономическом показателе, полученные от однотипных объектов и относящиеся к одному моменту (периоду времени). Модели, построенные по пространственным данным, называются пространственными моделями.

2. временные ряды – данные об экономическом показателе, характеризующем какой-либо объект в различные моменты времени. Модели, построенные на временных рядах , называются моделями временных рядов.

3.

Исследуемый экономический показатель называют результативным, объясняемым, зависимым экономическим показателем. Соответствующую переменную – объясняемой или зависимой. Экономические показатели, воздействие которых на исследуемый экономический показатель изучается, называют факторами, объясняющими или независимыми показателями (переменными).

4.

В эконометрике выделяют следующие основные 3 класса моделей:

1. Модели временных рядов:

1. Модели тренда (описывают устойчивые изменения экономического показателя в течение длительного времени).

2. Модели сезонности (описывают устойчивые внутригодовые колебания).

3. Модели авторегрессии (в них описываются влияния значения объясняемого экономического показателя в прошедший момент времени на его значение в текущий момент времени).

2. Регрессионные модели с одним уравнением. В них объясняемый экономический показатель представляется в виде функции от объясняющих экономических показателей (факторов). В зависимости от вида функции эти модели бывают: линейные и нелинейные.

3. Системы одновременных уравнений – это системы регрессионных уравнений, в которых в качестве объясняющих переменных используются объясняемые переменные из других уравнений системы.

5.

1 этап: постановочный. Формулируется цель исследования. Целью может служить анализ возможного развития экономического явления, прогноз экономических показателей, выработка на этой основе управленческих решений).

2 этап: априорный. Проводится анализ связей экономических переменных, выделяются зависимые и независимые переменные.

3 этап: информационный. Осуществляется сбор необходимой статистической информации о значениях экономических переменных.

4 этап: спецификация моделей. Для описания выявленных между экономическими показателями связей, подбирается математическая функция.

5 этап: параметризация. На основе собранных статистических данных об экономических переменных оцениваются параметры (коэффициенты) математических функций.

6 этап: верификация. Проводится проверка адекватности модели, т.е. насколько построенная модель соответствует реальному экономическому явлению.

6.

Все зависимости между экономическими переменными можно разделить на 2 вида:

1. Функциональные. Если каждому значению независимой переменной или нескольким независимых переменных соответствует одно строго определенное значение зависимой переменной, то такая зависимость называется функциональной. В ней отсутствует воздействие случайных факторов, поэтому в экономике функциональная зависимость встречается редко.

2. Статистические. В экономике каждому значению независимых переменных может соответствовать несколько значений зависимой переменной в зависимости от воздействия неучтенных и случайных факторов. Например, пусть исследуется зависимость прибыли предприятия от объема производства и цены за единицу продукции. При одном и том же объеме производства и цене за единицу продукции прибыль предприятия может быть различна, т.к. на нее воздействуют множество других факторов, в том числе случайных.

Зависимость между переменными, на которую накладывается воздействие случайных факторов, называется статистической. Для нее характерно то, что изменение независимой переменной приводит к изменению математического ожидания зависимой переменной. Уравнение регрессии – математическая формула, описывающая статистическую зависимость между переменными. Если формула описывается линейной функцией, то регрессия называется линейной. Если нелинейной функцией – нелинейной регрессией. Если регрессия связывает одну зависимую и одну независимую переменную, то такая регрессия называется парной (простой). Если рассматривается зависимость экономической переменной от нескольких экономических переменных, то такая регрессия называется множественной.

Тема 2:

Парная линейная регрессия

Вопросы:

14. Истинное и выборочное уравнения регрессии.

15. Метод наименьших квадратов.

16. Геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов.

17. Экономическая интерпретация коэффициентов парной линейной регрессии.

18. Основные предпосылки регрессионного анализа. Теорема Гаусса-Маркова.

19. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

20. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

21. Построение доверительных интервалов для параметров теоретической регрессии.

22. Проверка общего качества уровня регрессии. Коэффициент детерминации.

23. Проверка значимости коэффициента детерминации.

24. Оценка тесноты связи между переменными. Коэффициент корреляции.

25. Проверка значимости коэффициента корреляции.

26. Прогнозирование.

1.

Пусть исследуется статистическая зависимость экономического показателя У (объясняемая зависимая переменная) от экономического показателя Х (фактора, объясняющей или независимой переменной). Предположим, что зависимость носит линейный характер, тогда ее можно описать уравнением.

У= Парная линейная регрессия - student2.ru + Парная линейная регрессия - student2.ru Х+Е Парная линейная регрессия - student2.ru (1),

где Х – неслучайная величина, У и Е – случайные величины.

Случайная величина Е отражает воздействие на зависимую переменную У неучтенных и случайных факторов и называется ошибкой регрессии. Уравнение (1) называют истинным (теоретическим) уравнением регрессии или линейной регрессионной моделью. На основе реальных статистических данных об экономических показателях Х и У (выборке данных из генеральной совокупности) оцениваются параметры регрессии α и β и строится выборочное уравнение регрессии

Парная линейная регрессия - student2.ru , (2)

а, в, - коэффициенты регрессии. Уравнение (2) называют еще эмпирическим уравнением регрессии.

Одним из методов нахождения коэффициентов регрессии а и в является метод наименьших квадратов (МНК).

2.

Пусть из генеральной совокупности выбраны данные об экономических показателях У: ( у Парная линейная регрессия - student2.ru , у Парная линейная регрессия - student2.ru , …, у Парная линейная регрессия - student2.ru ) и Х: ( х Парная линейная регрессия - student2.ru , х Парная линейная регрессия - student2.ru ,…, х Парная линейная регрессия - student2.ru ) Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru . Если в (2) подставить наблюдаемое (выборочное значение хi, то получим расчетное значение Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru зависимой переменной у:

Парная линейная регрессия - student2.ru (3)

Разность между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной обозначим ei и назовем остатком, т.е.:

Парная линейная регрессия - student2.ru (4)

Суть МНК заключается в следующем: коэффициенты а и в должны быть такими, чтобы сумма квадратов остатков была минимальна

Парная линейная регрессия - student2.ru (5)

в (5) уi и xi – известные величины, а а и в – неизвестные.

Запишем необходимые условия экстремума функции S относительно а и в:

Парная линейная регрессия - student2.ru (6)

Система (6) является системой двух уравнений относительно двух неизвестных а и в. Она легко преобразовывается в систему (7):

Парная линейная регрессия - student2.ru (7)

Разделим оба уравнения системы на n:

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru (8)

3.

начертим оси координат Х ,У и изобразим в первой четверти точки (хii)

Парная линейная регрессия - student2.ru

Полученное изображение называется диаграммой рассеяния или полем корреляции.

Проведем линию регрессии Парная линейная регрессия - student2.ru

Парная линейная регрессия - student2.ru

Согласно МНК, а и в должны быть такими, чтобы построенная линия была ближайшей к точкам поля корреляции по их совокупности.

Сумма квадратов расстояний от точек поля корреляции до линии регрессии должна быть минимальной.

Пример1: исследуется зависимость прибыли предприятия от затрат на приобретение нового оборудования и техники. Собранны статистические данные по пяти однотипным предприятиям. Данные в млн. ден.ед. представлены в таблице 1.

Таблица 1

№ предприятия Затраты на новое оборудование, хi Прибыль, уi
     
     
     
     
     
     

Построить уравнение регрессии.

Данные таблицы представим графически, т.е. построим поле корреляции:

Парная линейная регрессия - student2.ru

Из полученной диаграммы рассеяния видно, что зависимость статистическая и ее можно представить линейной регрессией Парная линейная регрессия - student2.ru . Для оценки коэффициентов регрессии а и в воспользуемся формулами (8), для этого построим рабочую таблицу 2.

           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           

Таблица2

е нового оборудования и техники. в была минимальна

№ предприятия Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru
Итого:
Среднее 84,8 57,2
Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru

Подставим результаты, полученные в таблице 2 в формулы (8): испр.

Парная линейная регрессия - student2.ru

Парная линейная регрессия - student2.ru

Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику имеет вид:

Парная линейная регрессия - student2.ru

Выбрав с помощью диаграммы рассеяния для описания зависимости линейную регрессию мы выполнили этап спецификации (подбора функции), а рассчитав коэффициенты а и в, т.е. оценив параметры теоретической регрессии, мы выполнили этап параметризации.

4.

Коэффициент парной линейной регрессии в показывает, как в среднем изменяется зависимый экономический показатель у с изменением независимого фактора х на единицу. Так в примере 1 коэффициент в=0,775 показывает, что при увеличении расходов на приобретение нового оборудования и техники на 1 ден.ед. прибыль предприятия в среднем увеличится на 0,775 ден. ед.

Коэффициент а парной линейной регрессии экономического смысла не имеет.

5.

Для того, чтобы оценки параметров теоретической регрессии, полученные на основе МНК были лучшими по сравнению с оценками, найденными с помощью других методов, должны выполнятся определенные условия, которые называются основными предпосылками регрессионного анализа.

Для того, чтобы их сформулировать, вспомним что теоретическая регрессия описывается уравнением

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru ,

или для i-го наблюдения

Парная линейная регрессия - student2.ru

Предпосылки:

1. Математическое ожидание случайного члена ε в любом наблюдении должно быть равно 0:

Парная линейная регрессия - student2.ru

2. Дисперсия случайного члена ε должна быть постоянной для всех наблюдений:

Парная линейная регрессия - student2.ru

3. Случайные члены должны быть статистически независимы друг от друга:

Парная линейная регрессия - student2.ru

4. Объясняющая переменная хi – неслучайная величина

Теорема Гаусса-Маркова:

Если выполняются предпосылки 1-4 регрессионного анализа, то оценки параметров теоретической регрессии а и в есть наилучшие линейные оценки, обладающие следующими свойствами:

1. Они являются несмещенными:

Парная линейная регрессия - student2.ru

2. Они являются эффективными, т.е. имеют наименьшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок.

Парная линейная регрессия - student2.ru (9)

3. Они являются состоятельными, т.е.

Парная линейная регрессия - student2.ru

Это значит, что при достаточно большом объеме выборки n, оценки а и в близки к истинным параметрам линейной регрессионной модели α и β.

6.

Для расчета дисперсий D(a) и D(в) коэффициентов регрессии а и в в формулах (9) использовалась дисперсия σ2 случайного члена ε. Эта дисперсия неизвестна, но ее можно оценить, используя выборочные данные. Можно доказать, что несмещенной оценкой дисперсии σ2 является величина S2, где:

Парная линейная регрессия - student2.ru (10)

Величина S называется стандартной ошибкой регрессии. Она служит мерой разброса зависимой переменной около линии регрессии. Запишем в формулах (9) дисперсию σ2 ее оценкой S2:

Парная линейная регрессия - student2.ru (11)

Парная линейная регрессия - student2.ru и Парная линейная регрессия - student2.ru называют оценками дисперсии коэффициентов регрессии, а величина Sa и Sв – стандартными ошибками коэффициентов регрессии. Они используются для построения доверительных интервалов, которым принадлежат параметры истинной регрессии и для проверки значимости коэффициентов регрессии.

Вернемся в Примеру 1 и рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

Парная линейная регрессия - student2.ru

7.

Коэффициента регрессии получены на основании выборочных данных, отобранных случайным образом. Следовательно, коэффициенты регрессии а и в являются случайными числами и их значение может быть лишь случайно оказались отличными от нуля. Поэтому проводят проверку значимости коэффициентов регрессии, т.е. проверку того, значимо ли они отличны от нуля. Для этого используют процедуру проверку гипотез. Проверим значимость коэффициента в. Для этого:

1. Сформулируем гипотезу Н0:

Парная линейная регрессия - student2.ru .

Она состоит в том, что истинный коэффициент β=0,

2. В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину t:

Парная линейная регрессия - student2.ru . (12)

Эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с ν = n-2 степенями свободы. Подставим в формулу (12) оцененное по выборке значение коэффициента в и его стандартную ошибку Sв, получим наблюдаемое или расчетное значение t-критерия tрасч.

3. Выбирают уровень значимости проверки гипотезы. Как правило α= 0,05 или α=0,01, т.е. пятипроцентный или однопроцентный уровень значимости.

4. По таблице распределения Стьюдента для выборочного уровня значимости α/2 и ν = n-2 находят t кр. (критическое).

5. Если | tрасч.| > t кр., то гипотеза Н0 о равенстве параметра β=0 отвергается, параметр β существенно отличен от нуля, коэффициент в значим, а переменная х оказывает существенное влияние на зависимую у (Н0 считается неверной с вероятностью 1- α)

6. Если | tрасч.| < t кр., гипотеза Н0 принимается, коэффициент в незначим и переменная х не оказывает существенного влияния на зависимую переменную у.

Замечание: аналогично проверяется значимость коэффициента а в уравнении регрессии, однако проверка значимости коэффициента в имеет гораздо большее значение в регрессионном анализе.

Вернемся в примеру 1 и проверим значимость коэффициента в. Зависимость прибыли предприятия от расходов на новое оборудование и технику описывается регрессией:

Парная линейная регрессия - student2.ru

(1,65) (0,143).

1. Формулируем гипотезу Н0, состоящую в том, что истинный коэффициент β=0, Парная линейная регрессия - student2.ru .

2. Определим tрасч.

Парная линейная регрессия - student2.ru .

3. Выбираем уровень значимости проверки гипотезы

α= 0,05.

4. По таблице распределения Стьюдента для α/2=0,025 и числа степеней свободы

ν = 5-2=3

определим t кр. = 3,182.

5. | tрасч.|=5,4 > t кр.=3,182, поэтому гипотеза Н0 не верна с вероятностью

1-α= 1-0,05 = 0,95, параметр β существенно отличен от нуля, коэффициент в значим и затраты на новое оборудование и технику оказывают существенное влияние на прибыль предприятия.

8.

Вспомним, что линейная регрессионная модель (истинная или теоретическая регрессия) имеет вид:

Парная линейная регрессия - student2.ru (13)

На основании выборки строится выборочное уравнение регрессии:

Парная линейная регрессия - student2.ru

Также на основании выборки рассчитывается стандартные ошибки регрессии Sa и Sв.

Можно доказать, что с вероятностью 1-α (α – выбранный уровень значимости) значения параметра β лежат внутри интервала:

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru (14)

и с вероятностью 1-α (α – выбранный уровень значимости) значение параметра α истинной регрессии лежит внутри интервала:

Парная линейная регрессия - student2.ru (15)

Вернемся к Примеру 1 и построим доверительный интервал для параметра β в регрессионной модели, описывающей зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику. Выберем уровень значимости α= 0,05. т.к. в данном примере ν = 5-2=3 , то t кр. = 3,182, в = 0,775, Парная линейная регрессия - student2.ru

Тогда с вероятностью 1-α= 1-0,05 = 0,95 параметр β истинной регрессии попадает в интервал

Парная линейная регрессия - student2.ru

или 0,32<b<1,23 с вероятностью 95%.

9.

Выборочное уравнение регрессии имеет вид:

Парная линейная регрессия - student2.ru

тогда

Парная линейная регрессия - student2.ru

Рассчитаем выборочную дисперсию (вариацию) Var(y):

Парная линейная регрессия - student2.ru .

Из основных предпосылок регрессионного анализа следует, что Парная линейная регрессия - student2.ru , следовательно

Парная линейная регрессия - student2.ru

т.е. дисперсия зависимой переменной у (Var(y)) распадается на 2 части:

Парная линейная регрессия - student2.ru - часть, объясняемая уравнением регрессии, и часть Парная линейная регрессия - student2.ru - необъяснимая часть, зависящая от неученых и случайных факторов.

Коэффициентом детерминации называют отношение R2:

Парная линейная регрессия - student2.ru , (16)

которое характеризует долю вариации зависимой переменной, объясненную уравнением регрессии. Из (16) следует что R2 меняется от 0 до 1:

Парная линейная регрессия - student2.ru ,

чем ближе R2 к единице, тем меньше Парная линейная регрессия - student2.ru , т.е. доля вариации зависимой переменной, объясняемая случайными и неучеными факторами, тем лучше качество уравнения регрессии. Если Парная линейная регрессия - student2.ru =0, то R2=1, имеем функциональную зависимость. Чем ближе R2 к 0, тем больше Парная линейная регрессия - student2.ru , т.е. больше доля вариации, объясненная случайными и неучеными факторами, тем хуже качество регрессии. Т.к.

Парная линейная регрессия - student2.ru (17)

Вернемся к примеру 1, можно посчитать, что:

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru

Коэффициент детерминации близок к 1, качество регрессии хорошее.

Можно утверждать, что вариация (изменчивость) прибыли предприятия на 90,7% объясняется затратами на новое оборудование и технику и на 9,3% - прочими неучтенными и случайными факторами.

10.

Т.к. R2 оценивается на основании выборочных данных, то его отличие от 0 может оказаться случайным. Поэтому проводят проверку его значимости:

1. Формулируется гипотеза Н0: R2=0, состоящая в том, что истинный коэффициент детерминации равен 0.

2. В качестве критерия проверки гипотезы применяют случайную величину F:

Парная линейная регрессия - student2.ru . (18)

Величина F имеет распределение Фишера с двумя степенями свободы ν1=1, ν2=n-2.

3. Выберем уровень значимости проверки гипотезы значимости:

Парная линейная регрессия - student2.ru .

4. На основании α, ν1, ν2 в таблице распределения Фишера выбираем Fкр. (критическое)

5. Сравниваем Fрасч и Fкр.. если Fрасч > Fкр., то с вероятностью 1-α гипотезу Н0 считаем неверной, т.е. истинный коэффициент детерминации существенно отличен от нуля, уравнение регрессии значимо и переменные, включенные в уравнение регрессии достаточно объясняют поведение зависимой переменной. Если Fрасч < Fкр., то принимаемая гипотеза Н0, уравнение регрессии считается незначимым.

Проверим значимость коэффициента детерминации в примере 1:

1. Формулируем гипотезу Н0: R2=0.

2. Находим Fрасч.. В (18) подставим значение коэффициента детерминации, оцененное по выборке:

Парная линейная регрессия - student2.ru .

3.Выбираем уровень значимости α=0,005.

4. В таблице распределения Фишера на основании α=0,05 и для степеней свободы ν1=1, ν2 =5-2=3 найдем Fкр.

Парная линейная регрессия - student2.ru .

6. Fрасч =29,2> Fкр.=10,13, поэтому Н0 не верна в вероятностью 1-0,05=0,95, коэффициент детерминации значим, значимо построенное в Примере 1 уравнение регрессии.

11.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи между переменными. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции:

Парная линейная регрессия - student2.ru , (19)

rxy – безразмерная величина, показывает степень линейной зависимости между переменными. Чем ближе rxy к ±1, тем сильнее линейная зависимость. Чем ближе rxy к 0, тем линейная зависимость слабее. Если rxy = ±1, то имеет место функциональная линейная зависимость. Если rxy = 0, то линейная зависимость отсутствует. Если rxy >0, то связь между переменными положительная, если rxy <0 – отрицательная.

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru

Парная линейная регрессия - student2.ru

Рассчитаем коэффициент корреляции в примере 1:

Парная линейная регрессия - student2.ru

rxy >0 и близок к 1 следовательно линейная зависимость между прибылью предприятия и затратами на новое оборудование – положительная и тесная.

12.

Осуществляется аналогично проверки значимости коэффициентов регрессии и детерминации, используется t-статистика:

Парная линейная регрессия - student2.ru (20)

Проведем проверку значимости коэффициента корреляции в примере 1:

1. Формулируем гипотезу, состоящую в том, что истинный коэффициент корреляции равен нулю:

Парная линейная регрессия - student2.ru .

2. Подставим значение коэффициента корреляции, вычисленное по выборке в (20):

Парная линейная регрессия - student2.ru

3. Выбираем уровень значимости α=0,05.

4. Для α/2=0,025 и для ν=n-2=3 в таблице распределения Стьюдента находим tкр.:

Парная линейная регрессия - student2.ru

Следовательно, истинный коэффициент корреляции существенно отличен от 0, линейная зависимость между прибылью предприятия и затратами на новое оборудование и технику действительно тесная..

Замечание 1:

В парном линейном регрессионном анализе проверка значимости коэффициента в, коэффициента корреляции и коэффициента детерминации являются эквивалентными.

Замечание 2:

Легко показать, что коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, Парная линейная регрессия - student2.ru ,

13.

Прогнозирование на основе эконометрических моделей является одной из основных задач эконометрики.

Под прогнозированием в эконометрике понимают построение оценки зависимой переменной для таких значений независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.

Различают точечное прогнозирование и интервальное.

.

Точечный прогноз это число, значение зависимой переменной, вычисляемое для заданных значений независимых переменных.

Интервальный прогноз это интервал, в котором с заданным уровнем значимости ( с заданной вероятностью) находится истинное значение зависимой переменной для заданных значений независимых переменных.

Рассмотрим парную линейную регрессионную модель Парная линейная регрессия - student2.ru и соответствующее выборочное уравнение регрессии Парная линейная регрессия - student2.ru . Обозначим через ур истинное значение переменной у для заданного значения независимой переменной хр, т.е. Парная линейная регрессия - student2.ru .

Точечным прогнозом для ур является Парная линейная регрессия - student2.ru , т.е. чтобы получить точечный прогноз нужно в построенное уравнение регрессии подставить заданное значение независимой переменной.

Ошибкой предсказания ( Парная линейная регрессия - student2.ru ) называют разность между прогнозным и истинным значениями независимой переменной.

Парная линейная регрессия - student2.ru

Можно доказать, что дисперсия ошибки предсказания

Парная линейная регрессия - student2.ru . (21)

Из (21) следует, что чем ближе заданное значение независимой переменной Парная линейная регрессия - student2.ru к Парная линейная регрессия - student2.ru тем меньше дисперсия прогноза и чем больше объем выборки n, тем меньше дисперсия прогноза.

Заменив в (21) дисперсию Парная линейная регрессия - student2.ru на ее оценку Парная линейная регрессия - student2.ru , извлечем, квадратный корень и получим стандартную ошибку предсказания Парная линейная регрессия - student2.ru .

Парная линейная регрессия - student2.ru (22)

Выберем уровень значимости α и по таблице распределения Стьюдента найдем tкр. Тогда с вероятностью 1- α истинное значение переменной ур будет находится внутри интервала:

Парная линейная регрессия - student2.ru (23)

Очевидно, что чем ближе Парная линейная регрессия - student2.ru к Парная линейная регрессия - student2.ru и чем больше n, тем уже доверительный интервал (тем точнее прогноз). Это надо учитывать, выбирая прогнозные значения для независимой переменной.

Вернемся в Примеру 1 и найдем точечный и интервальный прогнозы для прибыли предприятия для затрат на новое оборудование и технику в размере 20 млн. денежных единиц.

Парная линейная регрессия - student2.ru

Вывод: с вероятностью 0,95 истинное значение прибыли попадет в полученный интервал.

Тема 3:

Нелинейная регрессия.

Вопросы:

5. Регрессии, нелинейные по переменным.

6. Регрессии, нелинейные по параметрам.

7. Индекс корреляции и индекс детерминации.

8. Эластичность функции.

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути и их моделирование линейными регрессиями не дает положительного результата. Так для описания зависимости спроса на некоторый товар от его цены наиболее целесообразно использовать логарифмическую модель. При анализе зависимостей издержек от объема выпуска наиболее обоснованной является полиномиальная модель. Широко используемая функция Кобба-Дугласа, является степенной функцией

Парная линейная регрессия - student2.ru

У – объем выпуска.

К-затраты капитала.

L - затраты труда.

А, α, β – параметры.

В современной экономике применяются также достаточно часто обратные и экспоненциальные модели. Различают регрессии нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам.

1.

К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:

Парная линейная регрессия - student2.ru (1)

Парная линейная регрессия - student2.ru , (2)

равносторонняя гипербола Парная линейная регрессия - student2.ru , (3)

функции вида Парная линейная регрессия - student2.ru (4)

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Так в регрессии (1) сделаем замену х=х1, х22 и получим двухфакторную линейную регрессию.

Парная линейная регрессия - student2.ru

В уравнении (3) замена переменной имеет вид: Парная линейная регрессия - student2.ru , а в (4) - Парная линейная регрессия - student2.ru .

Применение метода МНК для оценки коэффициентов соответствующих выборочной регрессии приводит к следующим системам уравнений. Для регрессии (!):

Парная линейная регрессия - student2.ru (5).

Для равносторонней гиперболы система уравнений имеет вид:

Парная линейная регрессия - student2.ru (6)

Для уравнения (4):

Парная линейная регрессия - student2.ru (7)


Приведем некоторые примеры использования уравнений (1-4) в экономике:

1. Полином третьей степени уравнения (2) часто моделирует зависимость общих издержек У от объема выпуска Х. график имеет вид:

Парная линейная регрессия - student2.ru

2. Полином второй степени (уравнение (1)) парабола может описать зависимость между объемом выпуска Х и средними (либо предельными) издержками У

Парная линейная регрессия - student2.ru

3. Гипербола (3) (обратная модель) применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную У к некоторому пределу. Если а и в - оценки параметров гиперболы соответственно, то в зависимости знаков а и в возможны следующие ситуации:

Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru Парная линейная регрессия - student2.ru

рис.1 рис.2 рис.3

График на рисунке 1 может отражать зависимость между объемом выпуска Х и средними фиксированными издержками У. график на рисунке 2 может описывать зависимость между доходом Х и спросом на блага У. Такие функции называются функциями Тронквиста. Важным приложением графика на рисунке 3 является кривая Филипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы Х (%) и процентным изменением заработной платы У.

4. Уравнения с квадратными корнями (4) использовались в исследовании урожайности и трудоемкости с/х производства.

Пример 1:

На основании информации о норме безработицы и темпах инфляции (таблица 1) построить :

1. диаграмму рассеяния.

2. уравнение регрессии, описывающее зависимость темпов инфляции от нормы безработицы.

Таблица 1

Наши рекомендации