Парная корреляция и парная линейная регрессия

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы. В основу таблицы положена группировка двух изучаемых во взаимосвязи признаков –XиY. Частотыf_ijпоказывают количество соответствующих сочетанийXиY. Еслиf_ijрасположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетанияf_ijдопустимо утверждать о связи междуXиY. При этом, еслиf_ijконцентрируются около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Уровни признака X	Уровни признака Y
Y1	Y2	…	Ym	Итого
X1	f11	f12	…	f1m
X2	f21	f22	…	f2m
…	…	…	…	…	…	…
Xk	fk1	fk2	…	fkm
Всего			…		n
			…			–

Рисунок 7.1. Схема корреляционной таблицы

Наглядным отображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет график, где на оси абсцисс откладываются значения X, по оси ординат – Y, а точками показывается сочетание первичных наблюдений X и Y. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии и форме связи.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое поY. Рассчитаем для каждогоX_iсреднее значениеYи дляY_j среднее значениеX.

; i = 1, 2, …, k ; j = 1, 2, …, m.

Последовательность точек на графике иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признакаYот факторногоX; соединяя точки линиями, получаемэмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяетсяYпо мере измененияX. Аналогичным образом, последовательность точек на графике иллюстрирует зависимость среднего значения факторного признакаXот результативногоY; соединяя точки линиями, также получаемэмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяетсяXпо мере измененияY.Таким образом, на одном графическом поле можно расположить две линии регрессии

Понятие о множественной регрессии и корреляции. Меры тесноты связей в многофакторной системе.

Множественная корреляция

Если имеется система статистических показателей: Y,X₁, X₂, …, X_m, то представляет интерес оценка корреляции междувсеми парамипоказателей этой системы. Все парные коэффициенты корреляции могут быть представлены в одной квадратной матрицеRразмерностью (m+1)×(m+1), котораяназывается матрицей парных линейных коэффициентов корреляции. На основе матрицейR, можно определить так называемые коэффициенты множественной линейной корреляциипризнаков и коэффициентыпарной линейной частной корреляции.

Коэффициент множественной линейной корреляции оценивает степень линейной связи одного из признаков системы с совокупностью прочих признаков этой же системы.В общем случае для измерения множественной линейной корреляции определяются параметры множественного уравнения регрессии и теоретические уровни признака-результата (например,Y). На основе фактических и рассчитанных по уравнению (теоретических) значений признакаYвычисляется коэффициент множественной корреляцииR_y:

где s²– общая (фактическая) дисперсия уровней результативного признака (дисперсияY);σ²_факт. – факторная дисперсия или дисперсия теоретических значений признака результата относительно среднего уровня;σ²_ост.– остаточная дисперсия, характеризующая вариациюYза счет факторов, не учтенных уравнением регрессии. Известно, что общая дисперсия признака результатаY складывается из факторной и остаточной составляющих.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе R_Yк 1, тем более сильная связь междуYи множествомX. Если коэффициентR_Yнезначителен по величине (как правило,R_Y 0,3), то можно утверждать, что или не все важнейшие факторы взаимосвязи учтены, или выбрана неподходящая форма уравнения. В последнем случае пересматривается список переменных модели и возможно, её вид.

Для нелинейной множественной связи рассчитывают индекс корреляции. Методика его вычисления аналогична, но взаимодействие факторов и функция регрессии рассматриваются как нелинейные. Индекс корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. КвадратRравен так называемомукоэффициенту детерминации(DилиR²). Он показывает, какая часть вариации зависимого признака объясняется включенными в модель факторов.

Показатели множественной корреляции рассчитываются по приведенной выше схеме не часто. Если признак-результат Yвключен в общую систему признаков, то на основе общей матрицы парных линейных коэффициентовRможно получитьвсю совокупностькоэффициентов множественной корреляции, так как любой из признаков этой системы может, в принципе, претендовать на роль признака-результата. Коэффициент множественной корреляции, оценивающий степень линейной зависимости любого признакаjот всех прочих в этой системе, определяется по формуле

где (m+1) – число всех признаков в системе; |R| –определитель матрицыR парных линейных коэффициентов корреляции;R_ii – алгебраическое дополнение элемента (jj) для этой же матрицы.